Dualidade de Alvis-Curtis

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Em matemática, a dualidade de Alvis-Curtis é uma operação de dualidade[nota 1] nos caracteres de um grupo redutivo[2] sobre um corpo finito, introduzido por Charles W. Curtis em 1980. Kawanaka (1981-1982) introduziu uma operação de dualidade semelhante para álgebras de Lie.[3][4]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

A ζ* dual de um caratere ζ de um grupo finito G com uma separação em par (B, N)[5][6] é definida como sendo

Neste caso, a soma é sobre todos os subconjuntos J[7] do conjunto R de raízes simples[8] do sistema Coxeter[9] de G.

O caratere ζ
PJ
é o truncamento de ζ[10] para o subgrupo parabólico PJ[11] do subconjunto J, dado pela restrição ζ a PJ e, em seguida, tomando o espaço das invariantes[12] do radical unipotente de PJ[13] [14], e ζG
PJ
é a representação induzida de G.

Referências

  1. Duality in algebraic geometry.
  2. Reductive group [[1]]
  3. Finite groups of Lie type: conjugacy classes and complex characters por Roger William Carter [[1993]
  4. Fourier transforms of nilpotently supported invariant functions on a finite simple Lie algebra por Noriaki Kawanaka 1981-[[2]]
  5. Bourbaki, Nicolas (2002). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 3-540-42650-7. Zbl 0983.17001. The standard reference for BN pairs.
  6. Serre, Jean-Pierre (2003). Trees. Springer. ISBN 3-540-44237-5. Zbl 1013.20001.
  7. Jech, Thomas. Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-44085-2
  8. Humphreys, James (1992). Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge University Press. ISBN 0521436133.
  9. Brink and Howlett (1993), «A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups», Springer Berlin / Heidelberg, Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831. 
  10. Coxeter, H.S.M. [Regular Polytopes], (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
  11. Popov, V.L. (2001), "Parabolic subgroup", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  12. [Invariant em mathworld.wolfram.com| Invariant
  13. [Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949, JSTOR 1969949]
  14. Popov, V.L. (2001), "unipotent element", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Notas

  1. Uma dualidade, de um modo geral, traduz conceitos, teoremas ou estruturas matemáticas para outros conceitos, teoremas ou estruturas, de um modo de um-para-um, frequentemente (mas não sempre) por meio de uma operação de involução: se o dual de A é B , então o dual de B é A.[1]
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