Corpo finito

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Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.

Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Todo anel \mathbb{Z}_p\,, para p primo, é um corpo, logo é um corpo finito.
  • Existe um (único, significando que todos são isomorfos) corpo finito com 4 elementos. Seja K este corpo. É fácil ver que o grupo aditivo (K, +) não pode ser isomorfo a (\mathbb{Z}_4, +)\, (porque, qualquer que seja a operação de multiplicação \otimes\,, temos que (1 + 1) \otimes (1 + 1) = 1 \otimes (1 + 1) + 1 \otimes (1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 0\,, e um corpo não pode ter divisores de zero). Então temos que (K, +) deve ser isomorfo ao grupo de Klein de ordem 4. Sem perda de generalidade, podemos definir K = { 0, 1, \alpha, \alpha + 1 }, e, como a equação x^2 = x só pode ter 2 raízes (0 e 1), e a equação x^2 = 1\, tem 1 como raiz dupla, temos que \alpha^2 = \alpha + 1. Com isso, completa-se a tabela multiplicativa do corpo de ordem 4. Note-se que \alpha\, e \alpha + 1\, são as raízes do polinômio (irredutível em \mathbb{Z}_2\,) x^2 + x + 1\,.

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