Equações de Euler (dinâmica do corpo rígido)

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Em mecânica clássica as equações de Euler descrevem a rotação de um corpo rígido num sistema de referência com os seus eixos fixos ao corpo e paralelo ao eixos principais do corpo de inércia. Em componentes cartesianas, são eles:

onde são os momentos de inércia, as acelerações angulares, as velocidades angulares e os torques. Todos no sistema de coordenadas do corpo rígido.

Motivação de dedução[editar | editar código-fonte]

Os cálculos que envolvem a aceleração, a aceleração angular, velocidade angular, momento angular, e a energia cinética são muitas vezes mais fáceis quando referenciados nas coordenadas do corpo. Isso porque o tensor momento de inércia no sistema de coordenadas do corpo não se altera com o tempo. Se o tensor dos momentos de inércia do corpo rígido (com nove componentes, dos quais seis são independentes) for diagonalizado, então obtêm-se um sistema de coordenadas (chamado de eixos principais), no qual o momento de inércia do tensor tem apenas três componentes.[1] O momento ângular no sistema do corpo é

No entanto, o princípio fundamental da dinâmica é definido no sistema inercial:

onde é o vetor torque. Para princípio fundamental da dinâmica ser resolvido com o sistema de coordenadas do corpo, o vetor do momento de inércia precisa ser transformado pela matriz de rotação definida pelos ângulos de Euler. Portanto,

Para se obter o torque no sistema de coordenadas do corpo, multiplica-se os dois lados por :

ou

com

Finalmente obtê-se as famosas equações de Euler que descrevem como os componentes do vetor de velocidade angular no sistema de coordenadas do corpo evoluem no tempo,

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Friedland, B. Control System Design: An Introduction To State-Space Methods. Dover Books on Electrical Engineering Series Dover Publications, Incorporated [S.l.] p. 35. ISBN 9780486442785.