Esfera: diferenças entre revisões
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Quanto a [[geometria analítica]], uma esfera é representada (em [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas retangulares]]) pela equação: <math>(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2</math> em que a, b, c são os deslocamentos nos [[eixo]]s x, y, z respectivamente, e r é o [[raio]] da esfera. |
Quanto a [[geometria analítica]], uma esfera é representada (em [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas retangulares]]) pela equação: <math>(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2</math> em que a, b, c são os deslocamentos nos [[eixo]]s x, y, z respectivamente, e r é o [[raio]] da esfera. |
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e ai galerinha uma esfera é uma safada |
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== Área e volume == |
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[[Imagem:Esfera_Cavalieri.png|thumb|250px|semi-esfera]] |
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A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula: |
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:<math>\!A = 4\pi r^2</math> |
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O [[volume]] de uma esfera é dado pela fórmula |
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:<math>\!V = \frac{4}{3}\pi r^3</math> |
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onde ''r'' é o raio da esfera e π é a constante [[pi]]. |
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== Calota x segmento esférico == |
== Calota x segmento esférico == |
Revisão das 21h42min de 4 de julho de 2013
A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.
Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico.[1] Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.
Quanto a geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.
e ai galerinha uma esfera é uma safada
Calota x segmento esférico
Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.
Área da calota:
Área do Segmento Esférico:
Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.
O volume do segmento é:
Fuso x cunha
Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.
Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexirica" (metaforicamente).
Área do fuso:
é o ângulo do fuso.
O volume do fuso é:
Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.
Volume
O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).
Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):
O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.
No limite em que δx se aproxima de zero fica:
Num dado x, um triângulo retângulo conecta x, y e r à origem, e pelo teorema de Pitágoras:
Substituindo y:
Calculando o integral:
Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:
Área
Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):
Derivando os dois lados da equação em relação a r:
Que pode ser abreviada como:
A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto a área total será:
Equação da esfera em R3
Em geometria analítica, uma esfera com centro (x0, y0, z0) e raio r é o lugar geométrico tal que:
Na forma parametrizada
Referências
- ↑ Eric W. Weisstein. «Esfera». Wolfram Research. MathWorld. Consultado em 11 de novembro de 2012
Ver também
Ligações externas
- Livro Cônicas e Quádricas: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 246 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.