Máximo divisor comum: diferenças entre revisões

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O máximo divisor comum (abreviadamente, MDC) entre dois ou mais números inteiros é o maior número inteiro que é fator de tais números.^[1] Por exemplo, os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6, logo mdc(12,18)=6. A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo mdc(10,15,25,30)=5. O máximo divisor comum também pode ser representado só com parênteses. Com esta notação, dizemos que dois números inteiros a e b são primos entre si , se e somente se mdc(a, b)=1.

No contexto da teoria dos anéis, um máximo divisor comum é definido de forma análoga: ele é um elemento m que divide a e b, e tal que qualquer outro divisor x comum de a e b é um divisor de m. Nem sempre existe um máximo divisor comum, e nem sempre ele é único.

Propriedades

Se b > 0 é um divisor de a, então (a, b) = b.^[2]
O máximo divisor comum ou MDC é uma operação associativa: (a,(b,c))=((a,b),c)=(a,b,c);
Tem-se (a,b). [a,b]=ab, onde [a,b] representa o mínimo múltiplo comum;
O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum verificam as seguintes propriedades distributivas:
(a, [b,c])=[(a,b),(a,c)]

[a,(b,c)]=([a,b], [a,c]);
(ca,cb)=c(a,b);
Se d=(a,b), então existem inteiros x e y tais que d=ax+by;
Se ax+by=1, então (a,b)=1;
Se c>0 e a e b são divisíveis por c então: (a/c,b/c) = 1/c*(a,b);
Se a e b são inteiros e a=q*b + r onde q e r são inteiros, então:

(a,b)=(b,r).

Determinação do máximo divisor comum

Há duas formas de determinar o máximo divisor comum de dois números:

A primeira é fatorar os números e a partir daí, pegar os fatores comuns a todos números e deixá-los com o menor expoente que o fator analisado apresentar entre todos os números..^[3]
Exemplo:
Achemos o MDC de 30 e 12. Note que: $30=2\times 3\times 5$ e $12=3\times 2^{2}$ , então $(30,12)=2\times 3$ (fatores comuns aos números e o menor expoente do fator. No caso do 2 tínhamos expoentes 1 e 2, mas pegamos o menor, daí ficou só 2 e não 2 ao quadrado).
A segunda consiste em escrever os dois números, separados por um traço vertical; em seguida, compara-se os números, e em baixo do maior deles coloca-se a diferença entre os dois. Agora compara-se o último número que se escreveu, com o que ficou na outra coluna, repetindo-se o processo até que se obtenha igualdade entre os números nas duas colunas, que é o resultado procurado.^[4]

Algoritmo de Euclides

O algoritmo de Euclides consiste em efectuar divisões sucessivas entre dois números até obter resto zero. O máximo divisor comum entre os dois números iniciais é o último resto diferente de zero obtido. Este método não requer qualquer factorização..

Ver também

Notas

↑ Vianna (1914), p. 71.
↑ Vianna (1914), p. 72.
↑ Vianna (1914), p. 77.
↑ Vianna (1914), p. 73

Referências

Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves

Ligações externas

Wikilivros

O wikilivro Teoria de números tem uma página intitulada Máximo divisor comum

[viana.71-1] Vianna (1914), p. 71.

[viana.72-2] Vianna (1914), p. 72.

[viana.77-3] Vianna (1914), p. 77.

[viana.73-4] Vianna (1914), p. 73

[1]

[2]

[3]

[4]

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 {{mais-notas|data=Maio de 2011}}
-O '''máximo divisor comum''' (abreviadamente, '''MDC''') entre dois ou mais [[números inteiros]] é o maior número inteiro que é [[factorização|fator]] de tais números.<ref name="viana.71">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_83|p. 71]].</ref> Por exemplo, os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6, logo mdc(12,18)=6. A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo mdc(10,15,25,30)=5. O máximo divisor comum também pode ser representado só com [[parênteses]]. Com esta notação, dizemos que dois números inteiros ''a'' e ''b'' são primos entre si , se e somente se mdc(''a'', ''b'')=1
+O '''máximo divisor comum''' (abreviadamente, '''MDC''') entre dois ou mais [[números inteiros]] é o maior número inteiro que é [[factorização|fator]] de tais números.<ref name="viana.71">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_83|p. 71]].</ref> Por exemplo, os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6, logo mdc(12,18)=6. A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo mdc(10,15,25,30)=5. O máximo divisor comum também pode ser representado só com [[parênteses]]. Com esta notação, dizemos que dois números inteiros ''a'' e ''b'' são primos entre si , se e somente se mdc(''a'', ''b'')=1.
-Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir [[equação|equações]] a outras equivalentes:
-Seja <math>m</math> o '''máximo divisor comum''' entre <math>a</math> e <math>b</math>, e <math>a'</math> e <math>b'</math> o resultado da divisão de ambos por <math>m</math>, respectivamente.
-Então, o seguinte é verdadeiro:
-# <math>[i] a=b \iff 1\cdot a=b\ \iff \frac{m}{m}\cdot a=b \iff m\cdot \frac{a}{m}=b \iff \frac{a}{m}\cdot m=b \iff \frac{a}{m} = \frac{b}{m}</math>
-# <math>[ii]  \frac{a}{m}=a'</math>
-# <math>[iii]  \frac{b}{m}=b'</math>
-# <math>[i]\rightarrow([ii]\and[iii]) \therefore a=b \iff \frac{a}{m} = \frac{b}{m} \iff a'=b'</math>
 No contexto da [[teoria dos anéis]], um '''máximo divisor comum''' é definido de forma análoga: ele é um elemento ''m'' que divide ''a'' e ''b'', e tal que qualquer outro divisor ''x'' comum de ''a'' e ''b'' é um divisor de ''m''. Nem sempre existe um máximo divisor comum, e nem sempre ele é único.
-==Propriedades==
+== Propriedades ==
-*Se ''b'' > 0 é um divisor de ''a'', então (''a'', ''b'') = ''b''.<ref name="viana.72">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_84|p. 72]].</ref>
+* Se ''b'' > 0 é um divisor de ''a'', então (''a'', ''b'') = ''b''.<ref name="viana.72">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_84|p. 72]].</ref>
-*O máximo divisor comum ou MDC é uma operação [[associativa]]: (''a'',(''b'',''c''))=((''a'',''b''),''c'')=(''a'',''b'',''c'');
+* O máximo divisor comum ou MDC é uma operação [[associativa]]: (''a'',(''b'',''c''))=((''a'',''b''),''c'')=(''a'',''b'',''c'');
-*Tem-se (''a'',''b''). [''a'',''b'']=''ab'', onde [''a'',''b''] representa o [[mínimo múltiplo comum]];
+* Tem-se (''a'',''b''). [''a'',''b'']=''ab'', onde [''a'',''b''] representa o [[mínimo múltiplo comum]];
-*O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum verificam as seguintes propriedades [[distributiva]]s:
+* O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum verificam as seguintes propriedades [[distributiva]]s:
 *:(''a'', [''b'',''c''])=[(''a'',''b''),(''a'',''c'')]
 *:[''a'',(''b'',''c'')]=([''a'',''b''], [''a'',''c'']);
-*(''ca'',''cb'')=''c''(''a'',''b'');
+* (''ca'',''cb'')=''c''(''a'',''b'');
-*Se ''d''=(''a'',''b''), então existem inteiros ''x'' e ''y'' tais que ''d''=''ax''+''by'';
+* Se ''d''=(''a'',''b''), então existem inteiros ''x'' e ''y'' tais que ''d''=''ax''+''by'';
-*Se ''ax''+''by''=1, então (''a'',''b'')=1;
+* Se ''ax''+''by''=1, então (''a'',''b'')=1;
-*Se ''c''>0 e ''a'' e ''b'' são divisiveis por c então: (''a/c'',''b/c'') = 1/''c''*(''a'',''b'');
+* Se ''c''>0 e ''a'' e ''b'' são divisíveis por c então: (''a/c'',''b/c'') = 1/''c''*(''a'',''b'');
-*Se ''a'' e ''b'' são inteiros e ''a''=''q*b'' + ''r'' onde ''q'' e ''r'' são inteiros, então:
+* Se ''a'' e ''b'' são inteiros e ''a''=''q*b'' + ''r'' onde ''q'' e ''r'' são inteiros, então:
 (''a'',''b'')=(''b'',''r'').
-==Determinação do máximo divisor comum==
+== Determinação do máximo divisor comum ==
 Há duas formas de determinar o máximo divisor comum de dois números:
 # A primeira é fatorar os números e a partir daí, pegar os fatores comuns a todos números e deixá-los com o menor expoente que o fator analisado apresentar entre todos os números..<ref name="viana.77">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_89|p. 77]].</ref>
 # Exemplo:
 #: Achemos o MDC de 30 e 12. Note que: <math>30 = 2 \times 3 \times 5</math> e <math>12=3 \times 2^2</math>, então <math>(30,12) = 2 \times 3 </math>  (fatores comuns aos números e o menor expoente do fator. No caso do 2 tínhamos expoentes 1 e 2, mas pegamos o menor, daí ficou só 2 e não 2 ao quadrado).
 # A segunda consiste em escrever os dois números, separados por um traço vertical; em seguida, compara-se os números, e em baixo do maior deles coloca-se a diferença entre os dois. Agora compara-se o último número que se escreveu, com o que ficou na outra coluna, repetindo-se o processo até que se obtenha igualdade entre os números nas duas colunas, que é o resultado procurado.<ref name="viana.73">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_85|p. 73]]</ref>
-===Algoritmo de Euclides===
+=== Algoritmo de Euclides ===
 {{artigo principal|[[Algoritmo de Euclides]]}}
 O algoritmo de Euclides consiste em efectuar divisões sucessivas entre dois números até obter resto zero. O máximo divisor comum entre os dois números iniciais é o último resto diferente de zero obtido. Este método não requer qualquer [[factorização]]..
-=={{Ver também}}==
+== Ver também ==
-*[[Fatorização]]
+* [[Fatorização]]
-*[[Número primo]]
+* [[Número primo]]
-*[[Algoritmo de Euclides]]
+* [[Algoritmo de Euclides]]
-*[[Mínimo múltiplo comum]]
+* [[Mínimo múltiplo comum]]
 == Notas ==
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 * {{Citar livro|nome=João José Luiz|sobrenome=Vianna|título=[[s:Galeria:Elementos de Arithmetica|Elementos de Arithmetica]]|edição=15|local=Rio de Janeiro|editora=Francisco Alves|ano=1914}}
-=={{Ligações externas}}==
+== Ligações externas ==
 {{Wikilivros|Teoria de números|Máximo divisor comum}}
-*{{Link||2=http://www.leonel.profusehost.net/maxdivc.htm |3=Calculadora on-line do máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros.}}
+* [http://www.leonel.profusehost.net/maxdivc.htm Calculadora on-line do máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros.]
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