Pequeno teorema de Fermat

Pierre de Fermat

O Teorema de Fermat, que originou o Teste de primalidade de Fermat, oferece um teste simples e eficiente para ignorar números não-primos. Qualquer número que falhe o teste não é primo.

Teorema

(Assuma-se $\operatorname {mdc} (a,b)$ como o Máximo divisor comum entre $a$ e $b$).

Se $m$ é primo, então para qualquer $a$ tal que $\operatorname {mdc} (a,m)=1$, temos:

$a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}$

Se $m$ não é primo, ainda é possível (embora pouco provável) que o supradito se verifique.

Se $m$ é ímpar composto, e $a$ um inteiro tal que $\operatorname {mdc} (a,m)=1$ e

$a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}$

diz-se que $m$ é pseudoprimo para a base $a$, i.e., é um número não primo que passa o teste de Fermat.

Prova do teorema

Seja $\operatorname {mdc} (a,m)=1$,

consideramos os conjuntos $\{1,2,3,\ldots ,m-1\}$ e $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}$

e percebemos que $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}\not \equiv 0{\pmod {m}}$.

Seja $i,j\in \{1,2,3,\ldots ,m-1\}$ e $ia\equiv ja{\pmod {m}}$

vemos que $i\equiv j{\pmod {m}}$

porque $\operatorname {mdc} (a,m)=1$,

com isso $i=j$

porque $0\leq |i-j|<m$,

então os números $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}\not \equiv 0{\pmod {m}}$
são incongruentes entre si ${\pmod {m}}$.

Então $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}$ são congruentes, em alguma ordem, com os números $1,2,3,\ldots ,m-1$.

Conclui-se que:

$(m-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots (m-1)\equiv a\cdot 2a\cdot 3a\cdot 4a\cdots (m-1)a\implies (m-1)!\equiv a^{m-1}\cdot (m-1)!{\pmod {m}}$

Se tivermos

$\operatorname {mdc} (m,(m-1)!)=1$ , ou seja, $m$ é primo, podemos cancelar o fator $(m-1)!$, e obtemos:

$a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}$, $\forall m\in$ aos inteiros
o que conclui a prova.

Contrapartidas

Infelizmente existem números que passam o teste de Fermat para todas as bases para as quais são relativamente primos – são os chamados números de Carmichael, e são infinitos. Como tal, pode-se fazer o Teste de pseudoprimalidade forte:

• Dado $m$
• Escreve-se $m-1=2^{8}t\,\!$, em que $t$ é ímpar
• Escolher aleatoriamente $a\in [1,m[$
• Calcular $h\equiv a^{t}{\pmod {m}}\,\!$
• Se $h=\pm 1$, então $m$ passa
• Calcular $h^{i}=a^{(2^{i})t}$ para $i=1,2,...,8$
• Se $h^{i}=-1\,\!$ para algum $i<8$, então $m$ passa
• Caso contrário $m$ falha.

O teste deve ser repetido para $r$ bases diferentes. A probabilidade de um número composto $m$ passar $r$ testes é de 1 em 4^r. Se $m$ passar o teste para 100 bases diferentes, então a probabilidade de $m$ ser composto é menor que 10⁻⁶⁰.

Um teste elementar e preciso de primalidade

Sabe-se que, com exceção dos números 2 e 3, todos os outros números primos são expresso pela fórmula Ip=6K±1. Mas sabe-se que a imensa maioria dos números expresso pela fórmula Ip=6K±1 não são números primos. O estudo dos não-primos da forma Ip=6K±1 leva à igualdade

K=6k2k3±k2±k3.

Então: dado um número inteiro positivo qualquer K, se não ocorrer nenhum par de números inteiros positivos k2,k3 que satisfaça a igualdade acima, afirma-se que os números Ip=6K±1 são números primos gêmeos.

Se não ocorrer nenhum par k2,k3 com sinais iguais e ocorrer ao menos um par k2,k3 com sinais diferentes que satisfaça a equação, afirma-se que Ip=6K+1 é primo e Ip=6K-1 não é primo.

Se não ocorrer nenhum par k2,k3 com sinais diferentes e ocorrer ao menos um par k2,k3 com sinais iguais que satisfaça a equação, afirma-se que Ip=6K-1 é primo e Ip=6K+1 não é primo.

Ver também

• Pseudoprimalidade
• Último Teorema de Fermat