Lei zero-um de Kolmogorov: diferenças entre revisões

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Revisão das 15h38min de 27 de abril de 2017

Em teoria da probabilidade, a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a Andrei Kolmogorov, especifica que um certo tipo de evento, chamado de evento de cauda, quase certamente acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a probabilidade de que este evento aconteça é $0$ ou $1$ .^[1]

Eventos de cauda são definidos em termos de sequências infinitas de variáveis aleatórias. Suponha que

X_{1},X_{2},X_{3},\dots \,

seja uma sequência infinita de variáveis aleatórias independentes (não necessariamente distribuídas identicamente). Considere ${\mathcal {F}}$ a σ-álgebra gerada por $X_{i}$ . Então, o evento de cauda $F\in {\mathcal {F}}$ é um evento probabilisticamente independente de cada subconjunto finito destas variáveis aleatórias. Note que a pertinência de $F$ a ${\mathcal {F}}$ implica que a pertinência a $F$ é unicamente determinada pelos valores de $X_{i}$ , mas que a última condição é estritamente mais fraca e insuficiente para provar a lei zero-um. Por exemplo, o evento para o qual a sequência converge e o evento para o qual sua soma converge são ambos eventos de cauda. Em um sequência infinita de cara ou coroa, uma sequência de 100 caras consecutivas ocorrendo infinitamente muitas vezes é um evento de cauda.^[2]

Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade $0$ ou $1$ , mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.

Formulação

Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de σ-álgebras independentes. Considere $(\Omega ,F,P)$ um espaço de probabilidade e $F_{n}$ uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em $F$ . Considere

G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}

a menor σ-álgebra contendo $F_{n}$ , $F$ _n+1, …. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento

F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}

haverá $P(F)=0$ ou $1$ .^[3]

A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada $F_{n}$ a σ-álgebra gerada pela variável aleatória $X_{n}$ . Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às σ-álgebras gerada por todos os $X_{n}$ , mas independente de qualquer número finito de $X_{n}$ . Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção $\textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$ .

Exemplos

Uma transformação inversível que preserve a medida em um espaço de probabilidade padrão (também chamado de espaço de probabilidade de Lebesgue-Rokhlin) e que obedeça a lei zero-um é chamada de automorfismo de Kolmogorov. Todos os automorfismos de Bernoulli são automorfismos de Kolmogorov, mas nem todo automorfismo de Kolmogorov é um automorfismo de Bernoulli.

Ver também

Referências

↑ Stroock, Daniel W. (31 de dezembro de 2010). Probability Theory: An Analytic View (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139494618
↑ Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Tomasz (26 de julho de 2000). Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540761754
↑ Rosenthal, Jeffrey S. (1 de janeiro de 2000). A First Look at Rigorous Probability Theory (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810243227

Ligações externas

O legado de Andrei Nikolaevich Kolmogorov (em inglês e russo) Currículo, biografia, alunos, descendentes, trabalhos, livros, publicações, artigos, fotografias e retratos de Andrei Kolmogorov.

[1] Stroock, Daniel W. (31 de dezembro de 2010). Probability Theory: An Analytic View (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139494618

[2] Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Tomasz (26 de julho de 2000). Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540761754

[3] Rosenthal, Jeffrey S. (1 de janeiro de 2000). A First Look at Rigorous Probability Theory (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810243227

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-Em [[Teoria das probabilidades|teoria da probabilidade]], a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a [[Andrei Kolmogorov]], especifica que um certo tipo de [[Evento (teoria das probabilidades)|evento]], chamado de ''evento de cauda'', [[quase certamente]] acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a [[probabilidade]] de que este evento aconteça é zero ou um.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&id=IvSSLeXpq3sC|título=Probability Theory: An Analytic View|ultimo=Stroock|primeiro=Daniel W.|data=2010-12-31|editora=Cambridge University Press|lingua=en|isbn=9781139494618}}</ref>
+Em [[Teoria das probabilidades|teoria da probabilidade]], a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a [[Andrei Kolmogorov]], especifica que um certo tipo de [[Evento (teoria das probabilidades)|evento]], chamado de ''evento de cauda'', [[quase certamente]] acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a [[probabilidade]] de que este evento aconteça é <math>0</math> ou <math>1</math>.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&id=IvSSLeXpq3sC|título=Probability Theory: An Analytic View|ultimo=Stroock|primeiro=Daniel W.|data=2010-12-31|editora=Cambridge University Press|lingua=en|isbn=9781139494618}}</ref>
 Eventos de cauda são definidos em termos de [[Sequência (matemática)|sequências]] infinitas de [[Variável aleatória|variáveis aleatórias]]. Suponha que
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 seja uma sequência infinita de variáveis aleatórias [[Independência (estatística)|independentes]] (não necessariamente distribuídas identicamente). Considere <math>\mathcal{F}</math> a [[Sigma-álgebra|σ-álgebra]] gerada por <math>X_i</math>. Então, o '''evento de cauda <math>F \in \mathcal{F}</math>''' é um evento probabilisticamente independente de cada subconjunto finito destas variáveis aleatórias. Note que a pertinência de <math>F</math> a <math>\mathcal{F}</math> implica que a pertinência a <math>F</math> é unicamente determinada pelos valores de <math>X_i</math>, mas que a última condição é estritamente mais fraca e insuficiente para provar a lei zero-um. Por exemplo, o evento para o qual a sequência converge e o evento para o qual sua soma converge são ambos eventos de cauda. Em um sequência infinita de cara ou coroa, uma sequência de 100 caras consecutivas ocorrendo infinitamente muitas vezes é um evento de cauda.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&lr=&id=EPeJ-yJR_w4C|título=Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises|ultimo=Brzezniak|primeiro=Zdzislaw|ultimo2=Zastawniak|primeiro2=Tomasz|data=2000-07-26|editora=Springer Science & Business Media|lingua=en|isbn=9783540761754}}</ref>
-Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade 0 ou 1, mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.
+Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade <math>0</math> ou <math>1</math>, mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.
 == Formulação ==
-Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de &sigma;-álgebras independentes. Considere (&Omega;, ''F'', ''P'') um [[espaço de probabilidade]] e ''F''<sub>''n''</sub> uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em ''F''. Considere
+Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de &sigma;-álgebras independentes. Considere <math>(\Omega, F, P)</math> um [[espaço de probabilidade]] e <math>F_n</math> uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em <math>F</math>. Considere
 :<math>G_n=\sigma\bigg(\bigcup_{k=n}^\infty F_k\bigg)</math>
-a menor &sigma;-álgebra contendo ''F''<sub>''n''</sub>, ''F''<sub>''n''+1</sub>, &hellip;. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento
+a menor &sigma;-álgebra contendo <math>F_n</math>, <math>F</math><sub>''n''+1</sub>, &hellip;. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento
 :<math>F\in \bigcap_{n=1}^\infty G_n</math>
-haverá ''P''(''F'') = 0 ou 1.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.co.uk/books?hl=pt-BR&id=Fjr0P25SUbYC|título=A First Look at Rigorous Probability Theory|ultimo=Rosenthal|primeiro=Jeffrey S.|data=2000-01-01|editora=World Scientific|lingua=en|isbn=9789810243227}}</ref>
+haverá <math>P(F)=0</math> ou <math>1</math>.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.co.uk/books?hl=pt-BR&id=Fjr0P25SUbYC|título=A First Look at Rigorous Probability Theory|ultimo=Rosenthal|primeiro=Jeffrey S.|data=2000-01-01|editora=World Scientific|lingua=en|isbn=9789810243227}}</ref>
-A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada ''F''<sub>''n''</sub> a &sigma;-álgebra gerada pela variável aleatória ''X''<sub>''n''</sub>. Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às &sigma;-álgebras gerada por todos os ''X''<sub>''n''</sub>, mas independente de qualquer número finito de ''X''<sub>''n''</sub>. Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção <math>\textstyle{\bigcap_{n=1}^\infty G_n}</math>.
+A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada <math>F_n</math> a &sigma;-álgebra gerada pela variável aleatória <math>X_n</math>. Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às &sigma;-álgebras gerada por todos os <math>X_n</math>, mas independente de qualquer número finito de ''<math>X_n</math>''. Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção <math>\textstyle{\bigcap_{n=1}^\infty G_n}</math>.
 ==Exemplos==