Lema de Borel-Cantelli

Em teoria das probabilidades, o lema de Borel–Cantelli é um teorema sobre sequências de eventos. Em geral, é um resultado na teoria da medida. É nomeado em referência a Émile Borel e Francesco Paolo Cantelli.

Estabelecimento do lema para espaços de probabilidade

Fazendo-se (E_n) ser uma sequência de eventos em algum espaço de probabilidade.

O lema de Borel–Cantelli estabelece:

Se a soma das probabilidade de E_n é finita

$\sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,$

então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 0, que é,

$\Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.\,$

Aqui, "lim sup" denota limite superior da sequência de eventos, e cada evento é um conjunto de resultados. Isto é, lim sup E_n é o conjunto de resultados que ocorrem infinitamente muitas vezes dentro da sequência de eventos infinita (E_n). Explicitamente,

$\limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.$

O teorema entretanto afirma que se a soma das probabilidades dos eventos E_n é finita, então o conjunto de todos os resultados que são "repetidos" infinitamente (muitas vezes) devem ocorrer com probabilidade zero. Note-se que nenhuma suposição de independência é requerida.

Exemplo

Por exemplo, supondo que (X_n) seja uma sequência de variáveis aleatórias com Pr(X_n = 0) = 1/n² para cada n. A probabilidade que X_n = 0 ocorre por infinitamente muitos n é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [X_n = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma ∑Pr(X_n = 0) é uma série convergente (de fato, é uma função zeta de Riemann que tende a π²/6), e então o lema de Borel–Cantelli Lemma estabelece que o conjunto de resultados que são comuns a tais infinitamente muitos eventos ocorrem com probabilidade zero. Por isso, a probabilidade de X_n = 0 ocorrendo para infinitamente muitos n é 0. Quase certamente (i.e., com probabilidade 1), X_n é não nula para todos mas finitamente muitos n.

Espaços de medida gerais

Para espaços de medida gerais, o lema de Borel–Cantelli toma a seguinte forma:

Deixa μ ser uma medida sobre um conjunto X, com σ-álgebra F, e fazendo (A_n) ser uma sequência em F. Se

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,$

então

$\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.\,$

Resultado de conversão

Um resultado relacionado, algumas vezes chamado o segundo lema de Borel–Cantelli, é um conversão parcial do primeiro lema de Borel–Cantelli. Ele diz:

Se os eventos E_n são independente e a soma de probabilidades de E_n diverge do infinito, então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 1.

A suposição de independência pode ser enfraquecido a independência paritária, mas neste caso a demonstração é mais difícil.

O teorema do macaco infinito é um caso especial deste lema.

O lema pode ser aplicado para dar cobertura ao teorema em Rⁿ. Especificamente (Stein 1993, Lemma X.2.1), se E_j é uma coleção de subconjuntos mensurávei de Lebesgue de um conjunto compacto em Rⁿ tais que

$\sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,$

então existe uma sequência F_j de transformações

$F_{j}=E_{j}+x_{j}$

tais que

$\lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}$

à parte de um conjunto de medida zero.

Contrapartida

Outro resultado relacionado é o assim chamado contrapartida do lema de Borel–Cantelli. É uma contrapartida do Lema no sentido que fornece uma condição necessária e suficiente para o limite superior ser 1 por substituir uma suposição de independência pela suposição completamente diferente que $(A_{n})$ é monótona crescendo para índices suficientemente grandes. Este Lema afirma:

Fazendo-se $(A_{n})$ ser tal que $A_{k}\subseteq A_{k+1}$, e fazendo ${\bar {A}}$ denotar o complemento de $A$. Então a probabilidade de infinitamente muitos $A_{k}$ ocorre (que é, ao menos um $A_{k}$ ocorre) é um se e somente se existe uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos $(t_{k})$ tal que

$\sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}|{\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .$

Este simples resultado pode ser útil em problemas tais como no caso daqueles que envolvem precisar probabilidades para processos estocásticos com a escolha da sequência $(t_{k})$ normalmente sendo a essencial.

Referências

• Prokhorov, A.V. (2001), "Borel–Cantelli lemma", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Feller, William (1961), An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons .
• Bruss, F. Thomas (1980), "A counterpart of the Borel Cantelli Lemma", J. Appl. Prob. 17: 1094–1101 .

Ligações externas

• «Planet Math Proof». Referências para uma demonstração simples para o lema de Borel Cantelli Lemma 
• Borel-Cantelli Lemma - Wolfram MathWorld

Ver também

• Teorema do macaco infinito