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Função psi: diferenças entre revisões

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[[Ficheiro:Psi0.png|miniaturadaimagem|300x300px|A função digamma <math>\psi(z)</math>, visualizada em coloração de domínio descontínua]]
[[Ficheiro:Mplwp_polygamma03.svg|miniaturadaimagem|300x300px|Partes reais da função digamma e as próximas três funções poligamma ao longo da linha real]]
Em [[matemática]], a '''função digamma''' é definida como a [[derivada logarítmica]] da [[função gama]] : <ref name="AbramowitzStegun">
{{Citar livro|título=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|ano=1972|editor-sobrenome=Abramowitz|localização=New York|páginas=258–259|capitulo=6.3 psi (Digamma) Function.|editor-sobrenome2=Stegun|edition=10th|publicação=Dover}}</ref>

: <math>\psi(x)=\frac{d}{dx}\ln\big(\Gamma(x)\big)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.</math>

É a primeira das [[Função poligama|funções]] da [[Função poligama|poligama]] .

A função digamma é frequentemente denotada como {{Math|''ψ''<sub>0</sub>(''x'')}}, {{Math|''ψ''<sup>(0)</sup>(''x'')}} ou {{Math|Ϝ}}  (a forma maiúscula do [[Ϝ|digamma]] [[Consoante|consonantal]] grego arcaico que significa [[Γ|gama dupla]] ).

== Relação com números harmônicos ==
A função gama obedece à equação

: <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z). \, </math>

Derivada em relação à z:

: <math>\Gamma'(z+1)=z\Gamma'(z)+\Gamma(z) \, </math>

Dividindo por {{Math|Γ(''z'' + 1)}} ou o equivalente {{Math|''z''Γ(''z'')}} resulta:

: <math>\frac{\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)}=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}+\frac{1}{z}</math>

ou:

: <math>\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}</math>

Como os números harmônicos são definidos para inteiros positivos {{Mvar|n}} tais qual

: <math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math>

a função digamma está relacionada a eles por

: <math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math>

onde {{Math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} e {{Mvar|γ}} é a [[constante de Euler-Mascheroni]] . Para argumentos meio-inteiros a função digamma assume os seguintes valores descritos logo abaixo

: <math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math>

== Representação de integrais ==
Se a parte real de {{Mvar|z}} for positiva, então a função digamma tem a representação [[integral]] que segue conforme o teorema de Gauss: <ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>

: <math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math>

Combinando esta expressão com uma identidade integral para a [[constante de Euler-Mascheroni]] faz com que <math>\gamma</math> resulte em:

: <math>\psi(z + 1) = -\gamma + \int_0^1 \left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)\,dt.</math>

A integral é o número harmônico de Euler <math>H_z</math>, então a fórmula anterior também pode ser escrita como

: <math>\psi(z + 1) = \psi(1) + H_z.</math>

Uma consequência é a generalização que segue da relação de recorrência:

: <math>\psi(w + 1) - \psi(z + 1) = H_w - H_z.</math>

Uma representação integral devido a Dirichlet é: <ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>

: <math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(e^{-t} - \frac{1}{(1 + t)^z}\right)\,\frac{dt}{t}.</math>

A representação integral de Gauss pode ser manipulada para iníciar a expansão assintótica de <math>\psi</math>. <ref>Whittaker and Watson, 12.31.</ref>

: <math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - \int_0^\infty \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{e^t - 1}\right)e^{-tz}\,dt.</math>

Esta fórmula também é uma decorrência da primeira integral de Binet para a função gama. A integral é facilmente identificada como uma [[transformada de Laplace]] .

A segunda integral de Binet para a função gama resulta em uma equação diferente para <math>\psi</math> que também fornece os primeiros termos da expansão assintótica a seguir: <ref>Whittaker and Watson, 12.32, example.</ref>

: <math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - 2\int_0^\infty \frac{t\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}.</math>

Da definição de <math>\psi</math> e da representação integral da função Gama, obtém-se

: <math>\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_0^\infty t^{z-1} \ln (t) e^{-t}\,dt,</math>

com <math>\Re z > 0</math> .

== Representação de produto infinito ==
A função <math>\psi(z)/\Gamma(z)</math> é uma função inteira, e pode ser representada pelo seguinte produto infinito

: <math>
\frac{\psi(z)}{\Gamma(z)}=-e^{2\gamma z}\prod_{k=0}^\infty\left(1-\frac{z}{x_k}
\right)e^{\frac{z}{x_k}}.
</math>

Aqui <math>x_k</math> é o ''k''ésimo zero de <math>\psi</math> e <math>\gamma</math> é a [[constante de Euler-Mascheroni]] .

Nota: Isso é analogamente equivalente a <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> devido à definição fornecida da função digamma: <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> .

== Fórmula da série ==
A fórmula do produto de Euler para a função gama, combinada com a equação funcional e uma identidade para a constante de Euler-Mascheroni, resulta na seguinte expressão para a função digamma, válida no plano dos números complexos fora dos inteiros negativos:

: <math>\begin{align}
\psi(z + 1)
&= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\
&= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z}{n(n + z)}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots.
\end{align}</math>

Equivalentemente,

: <math>\begin{align}
\psi(z)
&= -\gamma + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq 0, -1, -2, \ldots, \\
&= -\gamma + \sum_{n=0}^\infty \frac{z-1}{(n + 1)(n + z)}, \qquad z \neq 0, -1, -2, \ldots, \\
\end{align}</math>

=== Avaliação de somas de funções racionais ===
A identidade acima pode ser usada para avaliar somas da forma

: <math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)},</math>

onde tem-se que {{Math|''p''(''n'')}} e {{Math|''q''(''n'')}} são polinômios de {{Mvar|n}} .

Executando o método da [[Decomposição em frações parciais|fração parcial]] em {{Mvar|u<sub>n</sub>}} no campo complexo, no caso em que todas as raízes de {{Math|''q''(''n'')}} são raízes simples,

: <math>u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}.</math>

Para a série convergir,

: <math>\lim_{n\to\infty} nu_n=0,</math>

caso contrário, a série será maior do que a [[Série harmónica (matemática)|série harmônica]] e, portanto, irá divergir. Consequentemente

: <math>\sum_{k=1}^m a_k=0,</math>

e

: <math>\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty u_n &= \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k} \\
&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m a_k\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=\sum_{k=1}^m\left(a_k\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1}\right)\right)\\
&=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big) \\
&=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k).
\end{align}</math>

Com o uso da expansão em série da função poligama de classificação superior, uma equação generalizada pode ser dada da seguinte forma

: <math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{r_k-1}(b_k),</math>

desde que a série à esquerda convirja.

== Série de Taylor ==
O digamma possui uma [[Rational zeta series|série zeta racional]], dada pela [[série de Taylor]] em {{Math|''z'' {{=}} 1}} . O que significa que

: <math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math>

que converge para {{Math|z < 1}} . Neste caso, {{Math|''ζ''(''n'')}} é a [[função zeta de Riemann]]. Esta série é derivada de forma fácil da série de Taylor para a [[função zeta de Hurwitz]] .

== Série de Newton ==
A [[Operador de diferença|série de Newton]] para o digamma, às vezes referida como ''série Stern'', lê-se

: <math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}</math>

onde {{Math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''s''|b=''k''}}<big><big>)</big></big>}} é o [[coeficiente binomial]]. Podendo ser generalizado para

: <math>
\psi(s+1) = -\gamma - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-
\frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1,
</math>

onde {{Math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}} <ref name="blag2018">{{Citar periódico |ultimo=Blagouchine |primeiro=Ia. V. |arxiv=1606.02044 |url=http://math.colgate.edu/~integers/sjs3/sjs3.pdf |journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory |paginas=1–45 |titulo=Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions |volume=18A |ano=2018 |bibcode=2016arXiv160602044B}}</ref>

== Série com coeficientes de Gregory, números de Cauchy e polinômios de Bernoulli de segundo tipo ==
Existem diversas séries para o digamma contendo coeficientes racionais apenas para os argumentos também racionais. Em especial, a série com [[Coeficientes de Gregory|os coeficientes de Gregory]] {{Math|''G''<sub>''n''</sub>}} é dada por

: <math>
\psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad
\Re (v) >0,
</math>
: <math>
\psi(v) =2\ln\Gamma(v) - 2v\ln v + 2v +2\ln v -\ln2\pi - 2\sum_{n=1}^\infty\frac{\big|G_{n}(2)\big|}{(v)_{n}}\,(n-1)! ,\qquad
\Re (v) >0,
</math>
: <math>
\psi(v) =3\ln\Gamma(v) - 6\zeta'(-1,v) + 3v^2\ln{v} - \frac32 v^2 - 6v\ln(v)+ 3 v+3\ln{v} - \frac32\ln2\pi + \frac12
- 3\sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}(3) \big|}{(v)_{n}}\,(n-1)! ,\qquad
\Re (v) >0,
</math>

onde {{Math|(''v'')<sub>''n''</sub>}} é o ''fatorial crescente'' {{Math|(''v'')<sub>''n''</sub> {{=}}
''v''(''v''+1)(''v''+2) ... (''v''+''n''-1)}}, {{Math|''G''<sub>''n''</sub>(''k'')}} são os coeficientes de [[Coeficientes de Gregory|Gregory]] de ordem superior com {{Math|''G''<sub>''n''</sub>(1) {{=}} ''G''<sub>''n''</sub>}}, {{Math|&Gamma;}} é a [[função gama]] e {{Math|&zeta;}} é a [[função zeta de Hurwitz]] . <ref name="blag2016">{{Citar periódico |ultimo=Blagouchine |primeiro=Ia. V. |arxiv=1408.3902 |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |paginas=404–434 |titulo=Two series expansions for the logarithm of the gamma function involving Stirling numbers and containing only rational coefficients for certain arguments related to {{math|&pi;<sup>−1</sup>}} |volume=442 |ano=2016 |bibcode=2014arXiv1408.3902B |doi=10.1016/J.JMAA.2016.04.032}}</ref> <ref name="blag2018">{{Citar periódico |ultimo=Blagouchine |primeiro=Ia. V. |arxiv=1606.02044 |url=http://math.colgate.edu/~integers/sjs3/sjs3.pdf |journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory |paginas=1–45 |titulo=Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions |volume=18A |ano=2018 |bibcode=2016arXiv160602044B}}</ref> Série asemelhada com os números de Cauchy do segundo tipo {{Math|''C''<sub>''n''</sub>}} lê-se

: <math>
\psi(v)=\ln(v-1) + \sum_{n=1}^\infty\frac{C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad
\Re(v) >1,
</math>

Uma série com os [[Polinômios de Bernoulli de segundo tipo|polinômios de Bernoulli do segundo tipo]] tem forma à seguir <ref name="blag2018">{{Citar periódico |ultimo=Blagouchine |primeiro=Ia. V. |arxiv=1606.02044 |url=http://math.colgate.edu/~integers/sjs3/sjs3.pdf |journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory |paginas=1–45 |titulo=Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions |volume=18A |ano=2018 |bibcode=2016arXiv160602044B}}</ref>

: <math>
\psi(v)=\ln(v+a) + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\psi_{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad \Re(v)>-a,
</math>

onde {{Math|''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}} são os ''polinômios de Bernoulli do segundo tipo'' definidos pela seguinte equação geradora

: <math>
\frac{z(1+z)^a}{\ln(1+z)}= \sum_{n=0}^\infty z^n \psi_n(a) \,,\qquad |z|<1\,,
</math>

Pode ser generalizada para

: <math>
\psi(v)= \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l) + \frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}},
\qquad \Re(v)>-a, \quad r=1,2,3,\ldots
</math>

onde os polinômios {{Math|''N<sub>n,r</sub>''(''a'')}} são dados pela seguinte equação geradora

: <math>
\frac{(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}=\sum_{n=0}^\infty N_{n,m}(a) z^n, \qquad |z|<1,
</math>

de modo que {{Math|''N<sub>n,1</sub>''(''a'') {{=}} ''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}}. <ref name="blag2018">{{Citar periódico |ultimo=Blagouchine |primeiro=Ia. V. |arxiv=1606.02044 |url=http://math.colgate.edu/~integers/sjs3/sjs3.pdf |journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory |paginas=1–45 |titulo=Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions |volume=18A |ano=2018 |bibcode=2016arXiv160602044B}}</ref> Expressões análogas com o logaritmo da função gama relacionam-se com as seguintes fórmulas

: <math>
\psi(v)= \frac{1}{v+a-\tfrac12}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n \psi_{n+1}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\},\qquad \Re(v)>-a,
</math>

e

: <math>
\psi(v)= \frac{1}{\tfrac{1}{2}r+v+a-1}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{r-2} (r-n-1)\ln(v+a+n) +\frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\},\qquad \Re(v)>-a, \quad r=2,3,4,\ldots
</math>

== Fórmula de reflexão ==
A função digamma satisfaz uma [[fórmula de reflexão]] semelhante à da [[função gama]] :

: <math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math>

== Fórmula de recorrência e caracterização ==
A função digamma satisfaz a [[relação de recorrência]]

: <math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math>

Assim, pode-se dizer "telescópica" de {{Math|1 / ''x''}}, pois

: <math>\Delta [\psi](x)=\frac{1}{x}</math>

onde {{Math|Δ}} é o [[Operador de diferença|operador de diferença direta]] . Isso satisfaz a relação de recorrência de uma soma parcial da [[Série harmónica (matemática)|série harmônica]], implicando dessa forma na fórmula à seguir

: <math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math>

onde {{Mvar|γ}} é a [[constante de Euler-Mascheroni]] .

De forma generalizada,

: <math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math>

para <math> Re(z)>0</math> . Outra expansão da série é:

: <math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>,

Onde <math>B_{2j}</math> são os números de Bernoulli. Esta série diverge para todos os {{Math|''z''}} e é conhecida como a ''série Stirling'' .

De fato, {{Mvar|ψ}} é a única solução da equação funcional

: <math>F(x+1)=F(x)+\frac{1}{x}</math>

que é [[Função monótona|monotônico]] em {{Math|'''[[Real number|ℝ]]'''<sup>+</sup>}} e satisfaz a igualdade {{Math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} . Este fato decorre de forma direta da unicidade da função {{Math|Γ}} dada sua equação de recorrência e restrição de convexidade. Isso resulta na equação de diferença:

: <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math>

== Algumas somas finitas envolvendo a função digamma ==
Existem diversas equações de soma finita para a função digamma. Fórmulas de soma, como

: <math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math>

: <math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\exp\dfrac{2\pi rki}{m} = m\ln \left(1-\exp\frac{2\pi ki}{m}\right), \qquad k\in\Z,\quad m\in\N,\ k\ne m.</math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cos\dfrac{2\pi rk}{m} = m \ln \left(2\sin\frac{k\pi}{m}\right)+\gamma, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\frac{2\pi rk}{m} =\frac{\pi}{2} (2k-m), \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math>

são devidos a Gauss. <ref>R. Campbell. ''Les intégrales eulériennes et leurs applications'', Dunod, Paris, 1966.</ref> <ref>H.M. Srivastava and J. Choi. ''Series Associated with the Zeta and Related Functions'', Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.</ref> Fórmulas mais complexas, como

: <math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\cos\frac{(2r+1)k\pi }{m} = m\ln\left(\tan\frac{\pi k}{2m}\right) ,\qquad k=1, 2,\ldots, m-1</math>

: <math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\sin\dfrac{(2r+1)k\pi }{m} = -\frac{\pi m}{2}, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1</math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cot\frac{\pi r}{m}= -\frac{\pi(m-1)(m-2)}{6}</math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \frac{r}{m}=-\frac{\gamma}{2}(m-1)-\frac{m}{2}\ln m -\frac{\pi}{2}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{r}{m}\cdot\cot\frac{\pi r}{m} </math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi r}{m}= -\frac{\pi}{m}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{r \cdot\sin\dfrac{2\pi r}{m}}{\cos\dfrac{2\pi r}{m} -\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m} }, \qquad \ell\in\mathbb{Z} </math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\dfrac{(2\ell+1)\pi r}{m}=-(\gamma+\ln2m)\cot\frac{(2\ell+1)\pi}{2m} + \sin\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{\ln\sin\dfrac{\pi r}{m}} {\cos\dfrac{2\pi r}{m} -\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m} }, \qquad \ell\in\mathbb{Z}</math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi^2\left(\frac{r}{m}\right)= (m-1)\gamma^2 + m(2\gamma+\ln4m)\ln{m} -m(m-1)\ln^2 2 +\frac{\pi^2 (m^2-3m+2)}{12} +m\sum_{\ell=1}^{ m-1 } \ln^2 \sin\frac{\pi\ell}{m}</math>

são devido ao trabalho de certos autores contemporâneos (ver, por exemplo Apêndice B em Blagouchine (2014) <ref name="iaroslav_07">{{Citar periódico |doi=10.1016/j.jnt.2014.08.009 |primeiro=Iaroslav V. |ultimo=Blagouchine |titulo=A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations |journal=Journal of Number Theory |volume=148 |paginas=537–592 |data=2014 |arxiv=1401.3724}}</ref> ).

== Teorema digamma de Gauss ==
Para os inteiros positivos {{Mvar|r}} e {{Mvar|m}} ( {{Math|''r'' < ''m''}} ), a função digamma pode ser representada relacionada com a [[Constante de Euler-Mascheroni|constante]] de [[Constante de Euler-Mascheroni|Euler]] e um número finito de [[Função elementar|funções elementares]] fundamentais

: <math>\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right) </math>

que é válida, devido à sua equação de recorrência, para todos os argumentos racionais.

== Expansão assintótica ==
A função digamma tem a expansão assintótica

: <math>\psi(z) \sim \log z - \frac{1}{2z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{z^{2n}} = \log z - \frac{1}{2z} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n z^{2n}},</math>

onde {{Mvar|''B''<sub>''k''</sub>}} é o {{Mvar|''k''}} ésimo [[Números de Bernoulli|número de Bernoulli]] e {{Mvar|ζ}} é a [[função zeta de Riemann]] . Os primeiros termos dessa expansão são dados pela forma a seguir:

: <math>\psi(z) \approx \log z - \frac{1}{2z} - \frac{1}{12z^2} + \frac{1}{120z^4} - \frac{1}{252z^6} + \frac{1}{240z^8} - \frac{5}{660z^{10}} + \frac{691}{32760z^{12}} - \frac{1}{12z^{14}} + \cdots.</math>

Apesar de a soma infinita não convergir para nenhum {{Mvar|''z''}}, qualquer soma parcial finita torna-se cada vez mais precisa à medida que {{Mvar|''z''}} cresce.

A expansão pode ser descoberta aplicando-se a fórmula de Euler-Maclaurin à soma <ref>{{Citar periódico |url=http://www.uv.es/~bernardo/1976AppStatist.pdf |primeiro=José M. |ultimo=Bernardo |titulo=Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation |ano=1976 |journal=Applied Statistics |volume=25 |paginas=315–317 |doi=10.2307/2347257 |jstor=2347257}}</ref>

: <math>\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{z + n}\right)</math>

A expansão também pode ser derivada da representação integral proveniente da segunda fórmula integral de Binet para a função gama. Expandindo <math>t / (t^2 + z^2)</math> como uma [[série geométrica]] e substituindo uma representação integral dos números de Bernoulli leva à mesma série assintótica como acima. Além disso, expandir apenas um número finito de termos da série fornece uma fórmula com um termo de erro explícito:

: <math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - \sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} + (-1)^{N+1}\frac{2}{z^{2N}} \int_0^\infty \frac{t^{2N+1}\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}.</math>

== Desigualdades ==
Quando {{Math|''x'' > 0}}, a função

: <math>\log x - \frac{1}{2x} - \psi(x)</math>

é completamente monotônica e em particular positiva. Isso é uma consequência do teorema de [[Teorema de Bernstein sobre funções monótonas|Bernstein sobre funções monótonas]] aplicadas à representação integral proveniente da primeira integral de Binet para a função gama. Além disso, pela desigualdade de convexidade<math>1 + t \le e^t</math>, o integrando nesta representação é delimitado acima por <math>e^{-tz}/2</math> . Consequentemente

: <math>\frac{1}{x} - \log x + \psi(x)</math>

também é completamente monotônica. Conclui-se que, para todo {{Math|''x'' > 0}} ,

: <math>\log x - \frac{1}{x} \le \psi(x) \le \log x - \frac{1}{2x}.</math>

Isso recupera um teorema de Horst Alzer. <ref>H. Alzer, ''On some inequalities for the gamma and psi functions'', Math. Comp. 66 (217) (1997) 373–389.</ref> Alzer também provou que, para {{Math|''s'' ∈ (0, 1)}} ,

: <math>\frac{1 - s}{x + s} < \psi(x + 1) - \psi(x + s),</math>

Limites relacionados foram obtidos por Elezovic, Giordano e Pecaric, que provaram que, para {{Math|''x'' > 0}} ,

: <math>\log(x + \tfrac{1}{2}) - \frac{1}{x} < \psi(x) < \log(x + e^{-\gamma}) - \frac{1}{x},</math>

Onde <math>\gamma</math> é a [[constante de Euler-Mascheroni]] . <ref>N. Elezovic, C. Giordano and J. Pecaric, ''The best bounds in Gautschi’s inequality'', Math. Inequal. Appl. 3 (2000), 239–252.</ref> As constantes que aparecem nesses limites são as melhores possíveis. <ref>F. Qi and B.-N. Guo, ''Sharp inequalities for the psi function and harmonic numbers'', arXiv:0902.2524.</ref>

O [[teorema do valor médio]] implica o seguinte análogo da desigualdade de [[Desigualdade de Gautschi|Gautschi]] : Se {{Math|''x'' > ''c''}}, onde {{Math|''c'' ≈ 1.461}} é a única raiz real positiva da função digamma, e se {{Math|''s'' > 0}}, então

: <math>\exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + 1)}{\psi(x + 1)}\right) \le \frac{\psi(x + 1)}{\psi(x + s)} \le \exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + s)}{\psi(x + s)}\right).</math>

Além disso, a igualdade é válida se e somente se {{Math|''s'' {{=}} 1}} . <ref>A. Laforgia, P. Natalini, ''Exponential, gamma and polygamma functions: Simple proofs of classical and new inequalities'', J. Math. Anal. Appl. 407 (2013) 495–504.</ref>

Inspirados pela desigualdade de valor médio harmônico para a função gama clássica, Horzt Alzer e Graham Jameson provaram, entre outras coisas, uma desigualdade de valor médio harmônico para a função digamma:

<math> -\gamma \leq \frac{2 \psi(x) \psi(\frac{1}{x})}{\psi(x)+\psi(\frac{1}{x})} </math>para<math>x>0</math>

A igualdade se mantém se e somente se <math>x=1</math> . <ref>{{Citar periódico |ultimo=Alzer |primeiro=Horst |ultimo2=Jameson |primeiro2=Graham |ano=2017 |titulo=A harmonic mean inequality for the digamma function and related results |journal=[[Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova]] |paginas=203–209 |doi=10.4171/RSMUP/137-10 |volume=70 |issn=0041-8994 |lccn=50046633 |oclc=01761704 |url=https://eprints.lancs.ac.uk/id/eprint/136736/1/5d0aee750965cd339d8a0965d80de4c18b68.pdf}}</ref>

== Computação e aproximação ==
A expansão assintótica fornece uma maneira fácil de calcular {{Math|''ψ''(''x'')}} quando a parte real de {{Mvar|''x''}} é grande. Para calcular {{Math|''ψ''(''x'')}} para {{Mvar|x}} pequeno, a relação de recorrência

: <math> \psi(x+1) = \frac{1}{x} + \psi(x)</math>

pode ser usado para mudar o valor de {{Mvar|x}} para um valor mais alto. Beal <ref>{{Citar tese|ano=2003|tipo=PhD thesis|páginas=265–266|url=http://www.cse.buffalo.edu/faculty/mbeal/papers/beal03.pdf}}</ref> sugere o uso da recorrência acima para deslocar {{Mvar|x}} para um valor maior que 6 e, em seguida, aplicar a expansão acima com termos acima de {{Math|''x''<sup>14</sup>}} de corte, o que produz "precisão mais do que suficiente" (pelo menos 12 dígitos, exceto perto dos zeros) .

Conforme {{Mvar|x}} vai para o infinito, {{Math|''ψ''(''x'')}} fica arbitrariamente perto de {{Math|ln(''x'' − 1/2)}} e de {{Math|ln ''x''}} . Descendo de {{Math|''x'' + 1}} para {{Mvar|x}}, {{Mvar|ψ}} diminui em {{Math|1 / ''x''}}, {{Math|ln(''x'' − 1/2)}} diminui em {{Math|ln (''x'' + 1/2) / (''x'' − 1/2)}}, que é mais do que {{Math|1 / ''x''}}, e {{Math|ln ''x''}} diminui em {{Math|ln (1 + 1 / x)}}, que é menor que {{Math|1 / ''x''}} . A partir disso, vemos que para qualquer {{Mvar|x}} positivo maior que {{Math|1/2}} ,

: <math>\psi(x)\in \left(\ln\left(x-\tfrac12\right), \ln x\right)</math>

ou, para qualquer {{Mvar|x}} positivo,

: <math>\exp \psi(x)\in\left(x-\tfrac12,x\right).</math>

O exponencial {{Math|exp ''ψ''(''x'')}} é aproximadamente {{Math|''x'' − 1/2}} para um {{Mvar|x}} grande, mas se aproxima de {{Mvar|x}} com um {{Mvar|x}} pequeno, aproximando-se de 0 em {{Math|''x'' {{=}} 0}} .

Para {{Math|''x'' < 1}}, podemos calcular os limites com base no fato de que entre 1 e 2, {{Math|''ψ''(''x'') ∈ [−''γ'', 1 − ''γ'']}}, então

: <math>\psi(x)\in\left(-\frac{1}{x}-\gamma, 1-\frac{1}{x}-\gamma\right),\quad x\in(0, 1)</math>

ou

: <math>\exp \psi(x)\in\left(\exp\left(-\frac{1}{x}-\gamma\right),e\exp\left(-\frac{1}{x}-\gamma\right)\right).</math>

Da série assintótica acima para {{Mvar|ψ}}, pode-se derivar uma série assintótica para {{Math|exp(−''ψ''(''x''))}} . A série corresponde bem ao comportamento geral, ou seja, ela se comporta assintoticamente como deveria para grandes argumentos e tem um zero de multiplicidade ilimitada na origem também.

: <math> \frac{1}{\exp \psi(x)} \sim \frac{1}{x}+\frac{1}{2\cdot x^2}+\frac{5}{4\cdot3!\cdot x^3}+\frac{3}{2\cdot4!\cdot x^4}+\frac{47}{48\cdot5!\cdot x^5} - \frac{5}{16\cdot6!\cdot x^6} + \cdots</math>

Isso é semelhante a uma expansão de Taylor de {{Math|exp(−''ψ''(1 / ''y''))}} em {{Math|''y'' {{=}} 0}}, mas não converge. <ref>If it converged to a function {{Math|''f''(''y'')}} then {{Math|ln(''f''(''y'') / ''y'')}} would have the same [[Série de Taylor|Maclaurin series]] as {{Math|ln(1 / ''y'') − ''φ''(1 / ''y'')}}. But this does not converge because the series given earlier for {{Math|''φ''(''x'')}} does not converge.</ref> (A função não é [[Função analítica|analítica]] no infinito). Uma série semelhante existe para {{Math|exp(''ψ''(''x''))}} que começa com<math>\exp \psi(x) \sim x- \frac 12.</math>

Se alguém calcular a série assintótica para {{Math|''ψ''(''x''+1/2)}}, verifica-se que não há potências ímpares de {{Mvar|x}} (não há termo {{Mvar|x}} <sup>−1</sup>). Isso leva à seguinte expansão assintótica, que salva os termos de computação de ordem uniforme.

: <math> \exp \psi\left(x+\tfrac{1}{2}\right) \sim x + \frac{1}{4!\cdot x} - \frac{37}{8\cdot6!\cdot x^3} + \frac{10313}{72\cdot8!\cdot x^5} - \frac{5509121}{384\cdot10!\cdot x^7} + \cdots</math>

== Valores especiais ==
A função digamma possui valores em forma fechada para números racionais, como resultado do [[Função digama|teorema digamma]] de [[Função digama|Gauss]] . Alguns estão listados abaixo:

: <math>\begin{align}
\psi(1) &= -\gamma \\
\psi\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -2\ln{2} - \gamma \\
\psi\left(\tfrac{1}{3}\right) &= -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3\ln{3}}{2} - \gamma \\
\psi\left(\tfrac{1}{4}\right) &= -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma \\
\psi\left(\tfrac{1}{6}\right) &= -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} -2\ln{2} -\frac{3\ln{3}}{2} - \gamma \\
\psi\left(\tfrac{1}{8}\right) &= -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac {\pi + \ln \left (2 + \sqrt{2} \right ) - \ln \left (2 - \sqrt{2} \right ) }{\sqrt{2}} - \gamma.
\end{align}</math>

Além disso, tomando a derivada logarítmica de<math>|\Gamma (bi)|^2</math> ou<math>|\Gamma (\tfrac{1}{2}+bi)|^2</math> Onde <math>b</math> tem valor real, pode-se facilmente deduzir que

: <math>\operatorname{Im} \psi(bi) = \frac{1}{2b}+\frac{\pi}{2}\coth (\pi b),</math>
: <math>\operatorname{Im} \psi(\tfrac{1}{2}+bi) = \frac{\pi}{2}\tanh (\pi b).</math>

Além do teorema digamma de Gauss, nenhuma fórmula fechada é conhecida para a parte real em geral. Temos, por exemplo, na [[unidade imaginária]] a aproximação numérica

: <math>\operatorname{Re} \psi(i) = -\gamma-\sum_{n=0}^\infty\frac{n-1}{n^3+n^2+n+1} \approx 0.09465.</math>

== Raízes da função digamma ==
As raízes da função digamma são os pontos de sela da função gama de valor complexo. Assim, eles se encontram todos no [[Reta real|eixo real]] . O único no [[Número positivo|eixo real positivo]] é o mínimo exclusivo da função gama com valor real em {{Math|'''[[Real number|ℝ]]'''<sup>+</sup>}} em {{Math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{val|1.461632144968}}...}} {{Math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{val|1.461632144968}}...}} {{Math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{val|1.461632144968}}...}} . Todos os outros ocorrem apenas entre os polos do eixo negativo:

: <math>\begin{align}
x_1 &= -0.504\,083\,008\ldots, \\
x_2 &= -1.573\,498\,473\ldots, \\
x_3 &= -2.610\,720\,868\ldots, \\
x_4 &= -3.635\,293\,366\ldots, \\
&\qquad \vdots
\end{align}</math>

Já em 1881, [[Charles Hermite]] observou <ref name="Hermite">{{Citar periódico |primeiro=Charles |ultimo=Hermite |titulo=Sur l'intégrale Eulérienne de seconde espéce |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |data=1881 |paginas=332–338}}</ref> que

: <math>x_n = -n + \frac{1}{\ln n} + O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)</math>

mantém-se assintoticamente. Uma melhor aproximação da localização das raízes é dada por

: <math>x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n}\right)\qquad n \ge 2</math>

e usando outro termo torna-se ainda mais claro

: <math>x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n + \frac{1}{8n}}\right)\qquad n \ge 1</math>

que ambos surgem da fórmula de reflexão via

: <math>0 = \psi(1-x_n) = \psi(x_n) + \frac{\pi}{\tan \pi x_n}</math>

e substituindo {{Math|''ψ''(''x<sub>n</sub>'')}} por sua expansão assintótica não convergente. O segundo termo correto desta expansão é {{Math|1 / 2''n''}}, onde o dado funciona bem para aproximar raízes com {{Mvar|n}} pequeno.

Outra melhoria da fórmula de Hermite pode ser dada por: <ref name="MezoHoffman">{{Citar periódico |primeiro=István |ultimo=Mező |primeiro2=Michael E. |ultimo2=Hoffman |titulo=Zeros of the digamma function and its Barnes ''G''-function analogue |journal=Integral Transforms and Special Functions |volume=28 |data=2017 |paginas=846–858 |doi=10.1080/10652469.2017.1376193}}</ref>

: <math>
x_n=-n+\frac1{\log n}-\frac1{2n(\log n)^2}+O\left(\frac1{n^2(\log n)^2}\right).
</math>

Em relação aos zeros, as seguintes identidades de soma infinita foram recentemente provadas por István Mező e Michael Hoffman <ref name="MezoHoffman">{{Citar periódico |primeiro=István |ultimo=Mező |primeiro2=Michael E. |ultimo2=Hoffman |titulo=Zeros of the digamma function and its Barnes ''G''-function analogue |journal=Integral Transforms and Special Functions |volume=28 |data=2017 |paginas=846–858 |doi=10.1080/10652469.2017.1376193}}</ref>

: <math>\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2}&=\gamma^2+\frac{\pi^2}{2}, \\
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^3}&=-4\zeta(3)-\gamma^3-\frac{\gamma\pi^2}{2}, \\
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^4}&=\gamma^4+\frac{\pi^4}{9} + \frac23 \gamma^2 \pi^2 + 4\gamma\zeta(3).
\end{align}</math>

Em geral, a função

: <math>
Z(k)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^k}
</math>

pode ser determinada.

Os seguintes resultados <ref name="MezoHoffman">{{Citar periódico |primeiro=István |ultimo=Mező |primeiro2=Michael E. |ultimo2=Hoffman |titulo=Zeros of the digamma function and its Barnes ''G''-function analogue |journal=Integral Transforms and Special Functions |volume=28 |data=2017 |paginas=846–858 |doi=10.1080/10652469.2017.1376193}}</ref>

: <math>\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2+x_n}&=-2, \\
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2-x_n}&=\gamma+\frac{\pi^2}{6\gamma}
\end{align}</math>

também são verdade.

Aqui, {{Mvar|γ}} é a [[constante de Euler-Mascheroni]] .

== Regularização ==
A função digamma aparece na regularização de integrais divergentes

: <math> \int_0^\infty \frac{dx}{x+a},</math>

esta integral pode ser aproximada por uma série harmônica divergente, mas o valor a seguir pode ser anexado à série

: <math> \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+a}= - \psi (a).</math>

== Veja também ==

* [[Função poligama]]
* [[Função trigamma]]
* [[Polinômios de Tchebychev|Expansões]] de [[Polinômios de Tchebychev|Chebyshev]] da função digamma em {{Citar periódico |primeiro=Jet |ultimo=Wimp |titulo=Polynomial approximations to integral transforms |journal=Math. Comp. |ano=1961 |volume=15 |paginas=174–178 |doi=10.1090/S0025-5718-61-99221-3 |doi-access=free}}

== Referências ==
<references>
<ref name="AbramowitzStegun">
{{cite book|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|chapter=6.3 psi (Digamma) Function.|editor-last=Abramowitz|editor-first=M.|editor2-last=Stegun|editor2-first=I. A.|edition=10th|location=New York|publisher=Dover|pages=258–259|year=1972|chapter-url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm}}</ref>
<ref name="Weissstein">{{mathworld|urlname=DigammaFunction|title=Digamma function}}</ref>
</references>

Revisão das 18h10min de 14 de outubro de 2020

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