Matriz transposta

Matriz transposta, em matemática, é o resultado da troca de linhas por colunas em uma determinada matriz.

Uma matriz simétrica é toda a matriz que é igual à sua transposta.

Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz $M$ será representada por $M^{\mathrm {T} }$. Outras formas de representação encontradas na literatura são $M^{t}$ e $M'$.

Exemplos

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;$

• A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Construção

A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal também produz a matriz transposta. Nesta animação, a reflexão é representada por uma rotação ao redor do eixo que corre pela diagonal principal.

Uma matriz transposta é construída da seguinte maneira:

1. Seja uma matriz $A$, tal que:
2. : $A={\left(a_{x,y}\right)}_{m,n}\,$
3. Seja uma matriz $B$ a transposta de $A$:
4. : $B=A^{\mathrm {T} }\,$
5. A matriz $B$ possui as dimensões inversas de $A$, sendo definida por:
6. : $B={\left(b_{p,q}\right)}_{n,m}\,$
7. Cada item da matriz $B$ é definido por:
8. : $b_{p,q}=a_{q,p}\,$

Propriedades

• $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad \,$
• $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }\,$
• $\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\,$
• $(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }\,$
• $\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)\,$
• A matriz transposta de uma matriz inversível qualquer é também inversível, sendo a inversa da transposta igual à transposta da inversa: $(A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }\,$
• A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta gera soma de quadrados na diagonal.

Por exemplo:

Seja a matriz $X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}$. Então,

$XX^{T}=XX^{'}={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=$${\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {OliveGreen}b}^{2}&{\color {Red}a}{\color {Red}c}+{\color {OliveGreen}b}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}a}{\color {Red}c}+{\color {OliveGreen}b}{\color {OliveGreen}d}&{\color {Red}c}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}$

De forma equivalente,

$X^{T}X=X^{'}X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=$${\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {Red}c}^{2}&{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}&{\color {OliveGreen}b}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}$