Teorema do confronto: diferenças entre revisões
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O '''teorema do confronto''' estabelece a existência do [[limite]] de uma [[função]] real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite. |
O '''teorema do confronto''' estabelece a existência do [[limite]] de uma [[função (matemática)|função]] real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite. |
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== Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas) == |
== Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas) == |
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Sejam <math>f(x) |
Sejam <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> e <math>h(x)</math> funções reais definidas num [[domínio]] <math>D\subseteq\mathbb{R}</math> e seja <math>a</math> um ponto deste domínio, tais que: |
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* <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L |
* <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L</math> |
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* <math>f(x)\leq g(x)\leq h(x) |
* <math>f(x)\leq g(x)\leq h(x)</math> |
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Então existe o limite: |
Então existe o limite: |
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* <math>\lim_{x\to a}g(x)=L |
* <math>\lim_{x\to a}g(x)=L</math> |
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== Teorema do confronto aplicado a [[sucessões]]/sequências (Teorema das sucessões enquadradas) == |
== Teorema do confronto aplicado a [[sucessões]]/sequências (Teorema das sucessões enquadradas) == |
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Sejam <math>a_n |
Sejam <math>a_n</math>, <math>b_n</math> e <math>c_n</math> sucessões de números reais tais que: |
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* <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L |
* <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math> |
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* <math>a_n\leq b_n\leq c_n |
* <math>a_n\leq b_n\leq c_n</math> |
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Então, <math>b_n |
Então, <math>b_n</math> é uma sucessão convergente e ainda: |
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* <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L |
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Este comportamento traduz-se analiticamente por: |
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<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0 |
<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0</math> |
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E como: |
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<math>-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2} |
<math>-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}</math>, |
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Conclui-se que: |
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<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0 |
<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0</math> |
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O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, <math>x\in\mathbb{N}</math>). |
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, <math>x\in\mathbb{N}</math>). |
Revisão das 00h06min de 1 de setembro de 2013
O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto deste domínio, tais que:
Então existe o limite:
Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sucessões de números reais tais que:
Então, é uma sucessão convergente e ainda:
?
Exemplo (com )
Considere os gráficos à direita das funções (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "enquadrada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).