Equação de Langevin

Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento browniano num potencial.

As primeiras equações de Langevin que foram estudadas foram aquelas em que o potencial é constante, de forma que a aceleração ${a}$ de una partícula browniana de massa $m$ se expressa como a soma da força viscosa que é proporcional à velocidade da partícula ${v}$ (lei de Stokes), um termo de ruído $\mathbf {\eta } (t)$ que representa o efeito de uma série continua de choques com os átomos do fluido que forma o meio e ${F(x)}$ que é a força de interacção sistemática produzida pelas interacções intramoleculares e intermoleculares:

$m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=F(\mathbf {x} )-\beta \mathbf {v} +\eta (t).$

Equações essencialmente similares aplicam-se a outros sistemas brownianos, tais como e ruido térmico numa resistência eléctrica:

$L{\frac {dI(t)}{dt}}=-RI(t)+v(t).$

Podem obter numerosos resultados interessantes, mesmo sem resolver a equação de Langevin, a partir do teorema de flutuação-dissipação.

O método principal para se encontrar uma solução, se é que seja requerida uma solução, é utilizar a equação de Fokker-Planck, que providencia uma equação determinística que é satisfeita pela densidade de probabilidade dependente do tempo. Soluções numéricas alternativas podem-se obter mediante simulação de Monte Carlo. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e mecânica quântica (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na equação de Schrödinger se se transformarem algumas variáveis).

Bibliografia

• The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), by W T Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov (Université de Perpignan, France) & J T Waldron (Trinity College, Dublin, Ireland).
• World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10).
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation.