Teorema de Vinogradov: diferenças entre revisões
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Revisão das 02h14min de 28 de julho de 2017
Em Teoria dos números, o teorema de Vinogradov mostra que qualquer número impar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. É um teorema mais fraco que a conjectura fraca de Goldbach, segundo a qual diz que, está representação vale para todo impar maior que cinco. Foi nomeado após Ivan Vinogradov fazer sua demostração nos anos 30. O resultado do teorema proporciona limites assintóticos no números de representações de um número impar como uma soma de três primos.
Enunciado do Teorema de Vinogradov
Dado A um número real positivo. Então
onde
- ,
usando a função de Mangoldt , e
Uma consequência
Se N é impar, então G(N) é aproximadamente 1, por tanto para todo N suficientemente grande. Fica a mostrar que a contribuição das potências próprias de primos para r(N) é , se pode ver que :, onde k é o número de formas em que N pode ser expressado como soma de três primos. Isto significa em particular que qualquer impar suficientemente grande pode ser expresso como uma soma de três primos, logo prova a conjectura fraca de Goldbach, exceto para número finito de casos.
Curiosidades
Embora Vinográdov não pôde determinar com exatidão o que significava "suficientemente grande", seu aluno K. Borodzin demonstrou que 314.348.907 é um cota superior para o conceito de "suficientemente grande". Este número têm 6,846,169 de dígitos, assim mostrar a conjectura em cada número menor que esta cota seria inviável com a tecnologia atual. Em 2002, Liu Ming-Chit (Universidade de Hong Kong) e Wang Tian-Ze abaixaram essa cota para aproximadamente . O expoente continua muito grande para uma verificação computacional de todos os números menores. ( Pesquisas por computador têm apenas alcançado para a conjectura forte, e não mais que isso para a conjectura fraca).
Referências
- I.M. Vinogradov (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. New York: Interscience Parâmetro desconhecido
|translators=
ignorado (ajuda) - Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Col: Graduate Texts in Mathematics. 164. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X Chapter 8.
Ligações externas
- Weisstein, Eric W. «Vinogradov's Theorem» (em inglês). MathWorld