Estado BPS

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O Estado BPS (em homenagem a Eugène Bogomolny, Prasad Manoj, e Sommerfield Charles), também conhecido como Limite de Bogomolny-Prasad-Sommerfield[1] , é uma série de desigualdades de soluções de equações diferenciais parciais, dependendo da classe de homotopia da solução no infinito. Este conjunto de desigualdades é muito útil para a resolução de equações de sóliton[2] . Muitas vezes, ao insistir que o limite seja satisfeito ("saturado"), pode-se chegar a um simples conjunto de equações diferenciais parciais para resolver as equações de Bogomolny. Saturando soluções o limite são chamados estados BPS e desempenham um papel importante na teoria de campo e teoria das cordas.

A energia a um determinado tempo t é dada por

E=\int d^3x\, \left[ \frac{1}{2}\overrightarrow{D\varphi}^T \cdot \overrightarrow{D\varphi} +\frac{1}{2}\pi^T \pi + V(\varphi) + \frac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}\left[\vec{E}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{B}\right]\right]

em que D é a derivada covariante e V é o potencial. Se supusermos que V for não negativo e é igual a zero apenas para o vácuo de Higgs[3] e que o campo de Higgs é na representação adjunta[4] , então



\begin{align}

E & \geq \int d^3x\, \left[ \frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[\overrightarrow{D\varphi} \cdot \overrightarrow{D\varphi}\right] + \frac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}\left[\vec{B}\cdot\vec{B}\right] \right] \\

& \geq \int d^3x\, \operatorname{Tr}\left[  \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{D\varphi}\mp\frac{1}{g}\vec{B}\right)^2 \pm\frac{1}{g}\overrightarrow{D\varphi}\cdot \vec{B}\right] \\

& \geq \pm \frac{1}{g}\int d^3x\, \operatorname{Tr}\left[\overrightarrow{D\varphi}\cdot \vec{B}\right] \\

& = \pm\frac{1}{g}\int_{S^2\ \mathrm{boundary}} \operatorname{Tr}\left[\varphi \vec{B}\cdot d\vec{S}\right].

\end{align}

Portanto,

E\geq \left\|\int_{S^2} \operatorname{Tr}\left[\varphi \vec{B}\cdot d\vec{S}\right]\right \|.

A saturação acontece quando

\pi = 0

e

\overrightarrow{D\varphi}\mp\frac{1}{g}\vec{B} = 0

Exemplos:

Referências

  1. P Goddaipd e D I Olive (janeiro 1978). Magnetic monopoles in gauge field theories. Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, Silver Street, Cambridge CB3 9EW, UK. Página visitada em 9/2/13.
  2. M. Cruz, N. Turok, P. Vielva, E. Martínez-González e M. Hobson (25 de outubro de 2007). A Cosmic Microwave Background Feature Consistent with a Cosmic Texture. Revista Science publicada em 7 de dezembro de 2007 no Vol. 318 no. 5856 pp. 1612-1614 DOI: 10.1126/science.1148694. Página visitada em 9/2/13.
  3. C. Anastasiou. The Standard Model Higgs. 2008. Página visitada em 9/2/13.
  4. William Fulton e Joe Harris. Representation Theory: A First Course. 1991. Página visitada em 9/2/13.


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