Função de Legendre

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Em matemática, as funções de Legendre Pλ, Qλ e as funções de Legendre associadas Pμλ, Qμλ são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros.

Gráficos dos polinômios de Legendre associados Pm5(x)

Equação diferencial[editar | editar código-fonte]

As funções de Legendre associadas são soluções da equação de Legendre

onde os números complexos λ e μ são denominados, respectivamente, grau e ordem das funções de Legendre associadas. As funções de Legendre são as funções de Legendre associadas de ordem μ=0.

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares (em 1, −1 e ∞). Como toda equação deste tipo, ela pode ser convertida em uma equação diferencial hipergeométrica mediante uma mudança de variáveis, e sua solução pode ser expressa usando funções hipergeométricas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Estas funções podem ser definidas para parâmetros e argumentos complexos gerais:

onde é a função gama e é a função hipergeométrica.

A equação diferencial de segunda ordem tem uma segunda solução, , definida como:

Representação integral[editar | editar código-fonte]

As funções de Legendre podem ser escritas como integrais de contorno. Por exemplo

onde os contorno circulam em torno dos pontos 1 e z nos sentidos positivos, mas não circulam o ponto −1. Para x real


Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]