Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Em Teoria de Lie, teoria de operadores e teoria matricial, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descreve a exponenciação de elementos de uma álgebra de Lie que não necessariamente comutam:

$\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+{\frac {1}{2}}[A,B]+{\frac {1}{12}}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])+...)$

onde $[A,B]$ é o comutador da álgebra, e os termos posteriores são todos comutadores de comutadores.

Importância

A fórmula é importante em mecânica quântica no cálculo da evolução temporal de observáveis e teoria quântica de campos e em Teoria de Lie na correspondência entre Álgebras de Lie e Grupos de Lie.

Casos Especiais

No caso em que $[A,B]=0$ a fórmula se reduz à exponenciação como para números:

$e^{A}e^{B}=e^{A+B}$

o que mostra que, para elementos que comutam, a exponenciação tem o mesmo comportamento que nos complexos.

Um caso especial importante na mecânica quântica é quando vale que $[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$, isto é, os operadores comutam com seu comutador. Neste caso a fórmula se reduz a $e^{A}e^{B}=e^{A+B+{\frac {[A,B]}{2}}}$.

No caso da representação da álgebra por matrizes, é possível obter uma fórmula explícita dos termos da série.

Ligações Externas

• Notes on Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) Formulae

• THE BAKER–CAMPBELL–HAUSDORFF FORMULA

Ver Também

• Operador

• Teoria dos Grupos

• Teoria de representação

• Teoria de Lie