Homotetia

Transformação por homotetia.

Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo. Na homotetia as proporções são preservadas.

Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:

${\overrightarrow {OP'}}=k\cdot {\overrightarrow {OP}}$

O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição).

Uma homotetia preserva:

• os ângulos,
• as razões entre os segmentos de reta e
• o paralelismo.

Propriedades

As seguintes propriedades são válidas em qualquer dimensão.

Mapeamento de linhas, segmentos de reta e ângulos

Uma homotetia possui as seguintes propriedades:

• Uma reta é representada sobre uma reta paralela. Portanto, os ângulos permanecem inalterados.
• A proporção entre dois segmentos de reta é preservada.

Ambas as propriedades demonstram:

• Uma homotetia é uma semelhança .

Derivação das propriedades: Para facilitar os cálculos, assume-se que o centro $S$ é a origem: $\mathbf {x} \to k\mathbf {x}$. Uma linha $g$ com representação paramétrica $\mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v}$ é mapeada no conjunto de pontos $g'$ pela equação $\mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v}$, que é uma linha paralela a $g$ .

A distância entre dois pontos $P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q}$ é $|\mathbf {p} -\mathbf {q} |$ e a distância entre as suas imagens é $|k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |$. Portanto, a razão (quociente) entre dois segmentos de reta permanece inalterada.

Em caso de $S\neq O$, o cálculo é análogo, mas um pouco mais extenso.

Consequências: um triângulo é projetado sobre um triângulo semelhante. A imagem homotética de um círculo é outro círculo. A imagem de uma elipse é outra elipse semelhante, ou seja, a razão entre os dois eixos permanece inalterada.

Com teorema da interseção

Construções gráficas

usando o teorema da intersecção

Para uma homotetia com centro $S$, dada a imagem $Q_{1}$ de um ponto $P_{1}$ (ver diagrama), então a imagem $Q_{2}$ de um segundo ponto $P_{2}$, que não esteja na linha ${\overline {SP_{1}}}$ pode ser construída graficamente usando o teorema da interseção: $Q_{2}$ é o ponto comum das linhas ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ e ${\overline {SP_{2}}}$. A imagem de um ponto colinear com $P_{1},Q_{1}$ pode ser determinado usando $P_{2},Q_{2}$.

Pantógrafo

Fundo geométrico

Renderização 3D de pantógrafo

usando um pantógrafo

Antes da popularização dos computadores, o redimensionamento de desenhos era feito utilizando pantógrafos, uma ferramenta semelhante a um compasso.

Fundamentos de construção e geometria:

1. Usando 4 hastes, monte um paralelogramo móvel com vértices $P_{0},Q_{0},H,P$ de modo que as duas hastes que se cruzam em $Q_{0}$ sejam prolongadas na outra extremidade, como mostrado no diagrama. Escolha a proporção. $k$ .
2. Nas hastes alongadas, marque os dois pontos $S,Q$ de modo que $|SQ_{0}|=k|SP_{0}|$ e $|QQ_{0}|=k|HQ_{0}|$. Isso ocorre se $|SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.$ (Em vez de $k$ a localização do centro $S$ pode ser prescrito. Nesse caso, a proporção é $k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|$)
3. Fixe as hastes móveis rotativas à volta do ponto $S$.
4. Variar a localização do ponto $P$ e marque em cada ponto de tempo $Q$ .

Como ${\frac {|SQ_{0}|}{|SP_{0}|}}={\frac {|Q_{0}Q|}{|PP_{0}|}}$ (ver diagrama) do teorema da interseção, obtém-se que os pontos $S,P,Q$ são colineares e a equação $|SQ|=k|SP|$ é sustentada. Demonstra-se assim que o mapeamento $P\to Q$ é uma homotetia com centro $S$ e proporção $k$ .

Composição

A composição de duas homotetias com centros $S_{1},S_{2}$ e razões $k_{1},k_{2}=0.3$, mapear $P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}$ é novamente uma homotetia com seu centro $S_{3}$ na linha ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ com razão $k\cdot l=0.6$.

• A composição de duas homotetias com o mesmo centro $S$ é novamente uma homotetia com centro $S$. As homotetias com centro $S$ formar um grupo.
• A composição de duas homotetias com centros diferentes $S_{1},S_{2}$ e suas proporções $k_{1},k_{2}$ é:

• em caso de $k_{1}k_{2}\neq 1$ uma homotetia com seu centro na linha ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ e proporção $k_{1}k_{2}$,
• em caso de $k_{1}k_{2}=1$ uma translação com direção ${\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}$ Especialmente se $k_{1}=k_{2}=-1$ (reflexões pontuais).

Derivação:

Para a composição $\sigma _{2}\sigma _{1}$ das duas homotetias $\sigma _{1},\sigma _{2}$ com centros $S_{1},S_{2}$ com

$\sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),$

$\sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\$

obtém-se, por cálculo, a imagem do ponto $X:\mathbf {x}$ :

$(\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}$

$\qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x}$.

Portanto, a composição é

• em caso de $k_{1}k_{2}=1$, uma translação em direção ${\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}$ por vetor $\ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})$.
• em caso de $k_{1}k_{2}\neq 1$, o ponto $S_{3}$

$S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})$

é um ponto fixo (não é movido) e a composição

$\sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad$.

é uma homotetia com centro $S_{3}$ e proporção $k_{1}k_{2}$. $S_{3}$ fica sobre a linha ${\overline {S_{1}S_{2}}}$.

Composição com translação

• A composição de uma homotetia e uma translação é também uma homotetia.

A composição da homotetia

${\displaystyle \sigma$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;} e a translação

${\displaystyle \tau$ :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} } is

${\displaystyle \tau \sigma$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}

$=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)$

que é uma homotetia com centro $\mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}$ e proporção $k$ .

Em coordenadas homogéneas

A homotetia ${\displaystyle \sigma$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )} com centro $S=(u,v)$ pode ser escrita como a composição de uma homotetia com centro $O$ e a seguinte translação:

$\mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s}$.

Por isso, $\sigma$ pode ser representada em coordenadas homogéneas pela matriz:

${\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Uma transformação linear de homotetia pura também é conforme porque é composta de translação e escala uniforme.

Ver também

• Transformação geométrica
• Lista de construções do desenho geométrico