Inequação-produto

Inequação-produto é toda inequação na qual há um produto de termos. Note que o produto deve ser comparado a zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. A inequação é da forma:

$\prod _{i=1}^{N}f_{i}(x)\star 0$

onde é necessário que haja o produto de pelo menos dois polinômios.

Exemplo:

$(x-3)(x^{2}-4)\leq 0$

Resolução[editar | editar código-fonte]

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Produto: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decomposição[editar | editar código-fonte]

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

$[f(x)][g(x)]>0\Leftrightarrow (f(x)>0\land g(x)>0)\lor (f(x)<0\land g(x)<0)$

$[f(x)][g(x)]<0\Leftrightarrow (f(x)>0\land g(x)<0)\lor (f(x)<0\land g(x)>0)$

etc...

Note que $\land$ é o e lógico, equivalente à Interseção e que $\lor$ é o ou lógico, equivalente à União.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

$(x-2)(2x-3)>0$

(x-2)>0\land (2x-3)>0

x-2>0\Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow S_{1}

2x-3>0\Leftrightarrow 2x>3\Leftrightarrow x>{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{2}

S_{1}\cap S_{2}\Leftrightarrow x>2\land x>{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow S_{3}

(x-2)<0\land (2x-3)<0

x-2<0\Leftrightarrow x<2\Leftrightarrow S_{4}

2x-3<0\Leftrightarrow 2x<3\Leftrightarrow x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{5}

S_{4}\cap S_{5}\Leftrightarrow x<2\land x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{6}

S_{3}\cup S_{6}\Leftrightarrow x>2\lor x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S

Quadro de Sinais[editar | editar código-fonte]

Imagem representando a disposição dos fatores e das raízes no Quadro de Sinais.

Passos para a resolução da inequação-produto pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-produto, igualando-os a zero.

2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator.

3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo

r_{1}

a raiz de

f(x)

e

r_{2}

a raiz de

g(x)

.

4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do

x

, para cada fator e, posteriormente, do próprio produto, utilizando as regras de intervalos reais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolução da Inequação-Produto $(x-3)(7-x)\geq 0$ .

$(x-3)(7-x)\geq 0\Leftrightarrow 3\leq x\leq 7\Leftrightarrow S$

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de $x$ entre $3$ e $7$ .

Outras inequações-produto[editar | editar código-fonte]

É possível, na verdade, observar inequações-produto sem fatores que sejam resumidos à inequações do 1º grau ou que tenham mais de dois fatores. Sua resolução, todavia, apesar de usar os métodos descritos, requisita outros conhecimentos:

$(x^{3}-2x^{2}+5)[log_{x}(x-1)]({\sqrt {2^{x}-x^{2}}})<0$