Integral de McShane

O matemático estadunidense Edward James McShane apresentou, em 1973, uma nova formulação da integral de Lebesgue sem o recurso à Teoria da Medida. Neste âmbito, passava na altura, a ser uma alternativa ao curso de F. Riesz e B. Sz. Nagy (ver [Ch.II]). Com base na integral de Henstock-Kurzweil, também conhecida por integral de Riemann generalizada, surgida uma década antes através dos trabalhos independentemente desenvolvidos pelo matemático inglês Ralph Henstock (1923-2007) e pelo matemático checo Jaroslav Kurzweil (1926-2022), McShane dá origem a uma integral, que haveria de ficar conhecida pelo seu nome. Usando as mesmas somas de Riemann tão bem conhecidas de muitos estudantes dos cursos de Ciências e Engenharia, tal integral não era, contudo, uma integral nova já que se formalizava equivalente à integral de Lebesgue, apresentada no princípio do século XX pelo francês Henri Lebesgue.

Partições, Pontilhados e Calibres

Tratando-se de uma integral baseada nas somas de Riemann, assenta ela obviamente em conceitos conhecidos como o de partição e ainda outros inerentes à integral de Henstock-Kurzweil. A nomenclatura relativa a estas noções variam bastante de autor para autor. Esta nossa exposição é nesse ponto sobretudo inspirada por definições semelhantes usadas, por exemplo, por Elon Lages de Lima e Djairo Guedes de Figueiredo no que respeita à integral de Riemann.

Dado um intervalo limitado e fechado, $[a,b]$, da reta real, $\mathbb {R}$, por partição de $[a,b]$ entenderemos um qualquer conjunto $P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\},$ finito e ordenado $(x_{0}<x_{1}<...<x_{n})$ em que $x_{0}=a$ e $x_{n}=b$. Cada intervalo $[x_{i-1},x_{i}]$ $(i=1,...,n)$ é chamado de subintervalo determinado pela partição $P.$ O valor $\left\vert P\right\vert =max\{x_{1}-x_{0},...,x_{n}-x_{n-1}\},$ será dito diâmetro da partição $P.$ Por $\wp [a,b])$ designaremos o conjunto de todas as partições do intervalo $[a,b]$.

Relativamente a uma partição $P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}$, chamaremos pontilhado de $[a,b]$ admissível para $P$, a qualquer sequència finita de pontos daquele intervalo, $T:t_{1},...,t_{n},$ que tenha $n$ termos, ou seja, tantos quantos os subintervalos de $[a,b]$ determinados por $P$. Um dado pontilhado, $T$ de $[a,b]$, diz-se subordinado à partição $P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}$ de $[a,b]$, se e só se $T$ tiver um e um só elemento $t_{i}$ em cada um dos subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ $(i=1,...,n)$ em que $P$ decompõe o intervalo $[a,b]$. Isto é, ${\textstyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}],\ i=1,...,n.}$

Notemos que a sequência $T:t_{1},...,t_{n},$ pode admitir termos repetidos, e que o número $n$, indicado, tem em conta essa repetição. Observe- se que no caso de $T$ ser um pontilhado subordinado à partição $P$, então o número de repetições não excede 2. Este mesmo número pode ser superior no caso de não haver subordinação.

Com uma partição $P$ e um pontilhado $T$ que lhe seja admissível, podemos formar o conjunto

${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)=\{(t_{1},[x_{0},x_{1}]),...,(t_{n},[x_{n-1},x_{n}])\}=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}$,

a que chamaremos partição pontilhada associada ao par ${\textstyle (T,P)}$.

Todos estes conceitos provêm, como se sabe, da integral de Riemann. Os que se seguem têm origem na formulação da integral de Henstock-Kurzweil.

Iremos considerar partições pontilhadas de dois tipos. Umas em que o pontilhado $T$ está subordinado à partição $P$, as quais chamaremos de partição de pontilhado subordinado, e aquelas em que, pelo contrário, $T$ não está subordinada a $P$, a que daremos o nome de partição livremente pontilhada.

Dada uma função positiva ${\textstyle \delta :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$, uma partição pontilhada ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$, associada ao par ${\textstyle (T,P)}$, é dita $\delta$-fina sempre que

${\textstyle [x_{i-1},x_{i}]\subset ]t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})[}$, para ${\textstyle i=1,...,n}$.

Nestas circunstâncias, a função $\delta$ toma o nome de calibre.

São válidas as seguintes relações com as amplitudes dos subintervalos determinados por uma partição pontilhada que seja $\delta$-fina.

Teorema 1

$(i)$ Se a partição pontilhada ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$ for $\delta$-fina então existe um outro calibre $\gamma (t)$ tal que

$0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})$ para ${\textstyle i=1,...,n}$.

$(ii)$ Dada uma partição de pontilhado subordinado, ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$,

se existir um calibre $\gamma (t)$ tal que $0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})$ para ${\textstyle i=1,...,n}$, então ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$ é $\gamma$-fina.

$(iii)$ Se ${\textstyle \delta (t)}$ for um calibre limitado e $\delta >0$ for um número real tal que $\delta (t)\leq \delta$, qualquer que seja ${\textstyle t\in [a,b]}$, e ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ for uma partição pontilhada que seja $\delta$-fina, então tem-se necessariamente $|P|<2\delta$.

Na verdade, se ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$ for $\delta$-fina, temos com $\gamma (t)=2\delta (t)$, para ${\textstyle i=1,...,n}$,

${\textstyle [x_{i-1},x_{i}]\subset ]t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})[=]t_{i}-\gamma (t_{i})/2,t_{i}+\gamma (t_{i})/2[}$,

o que implica $0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})$, o que demonstra $(i)$.

Inversamente, para mostrarmos $(ii)$, seja ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$ tal que $0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})$ para ${\textstyle i=1,...,n,}$ relativamente a um dado calibre $\gamma (t)$. Então se ${\textstyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}],\ i=1,...,n,}$ ou seja, se o pontilhado $T$ for subordinado a $P$, temos necessariamente ${\textstyle [x_{i-1},x_{i}]\subset ]t_{i}-\gamma (t_{i}),t_{i}+\gamma (t_{i})[}$, para ${\textstyle i=1,...,n}$, ou seja, ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$ é $\gamma$-fina.

A asserção $(iii)$ é uma consequência imediata da demonstração de $(i)$.

Exemplo 1

Uma função ${\textstyle \delta (t)}$ tal que , ${\textstyle \delta (t)=\delta >0}$ para cada ${\textstyle t\in [a,b]}$, isto é que seja constante e positiva no intervalo ${\textstyle [a,b]}$, constitui um calibre. Dizer que uma partição pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, é $\delta$-fina implica que $|P|<2\delta$ independentemente do pontilhado $T$ admissível para a partição $P$. Reciprocamente, se $|P|<\delta$ então qualquer partição de pontilhado subordinado, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, é $\delta$-fina.

Compatibilidade

Permanece a questão de saber se qualquer calibre, $\delta$, admite uma partição pontilhada que seja $\delta$-fina. A questão é inteiramente esclarecida pelo seguinte teorema, conhecido na literatura como lema de Cousin por ser devido, noutro contexto, ao matemático francês Pierre Cousin.

Teorema 2

Para cada função $\delta :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}$, existe uma partição de $[a,b]$, de pontilhado subordinado, que é $\delta$-fina.

A demonstração desta proposição resulta da seguinte observação. Se com $c\in ]a,b[$, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{a},P_{a})}$ e ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{b},P_{b})}$ forem duas partições, de pontilhado subordinado, $\delta$-finas dos intervalos $[a,c]$ e $[c,b]$, respetivamente, então por junção das duas partições construímos uma partição de pontilhado subordinado de $[a,b]$, igualmente $\delta$-fina.

Assim, procedamos por contradição, supondo que não existe nenhuma partição, de pontilhado subordinado de $[a,b]$, que seja $\delta$-fina. Então para qualquer $c\in ]a,b[$, pelo menos um dos intervalos, $[a,c]$ ou $[c,b]$, também não admite nenhuma partição de pontilhado subordinado igualmente $\delta$-fina. Escolhendo ${\textstyle c=(a+b)/2}$, o ponto médio do intervalo $[a,b]$, designemos tal subintervalo de $[a,b]$, por $I_{1}=[a_{1},b_{1}]$, cuja amplitude é igual a $(b-a)/2$. Aplicando a $I_{1}$ o mesmo argumento, construímos analogamente um subintervalo de $I_{1}$, $I_{2}=[a_{2},b_{2}]$, de amplitude $(b-a)/4$, o qual também não admite nenhuma partição, de pontilhado subordinado, que seja $\delta$-fina. Por este processo constituímos uma sucessão descendente de intervalos fechados,

$[a,b]\supset I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{k}\supset ...,$

em que $I_{k}=[a_{k},b_{k}]$ é um intervalo de amplitude $(b-a)/2^{k}$ que não admite nenhuma partição, de pontilhado subordinado, que seja $\delta$-fina. Nestas condições é possível afirmar que ${\textstyle I=\bigcap _{k\geq 1}I_{k}}$ é um conjunto não vazio, limitado e fechado (ver [Teorema 12, p.145]) e além disso, singular já que $(b-a)/2^{k}\rightarrow 0$, quando $k\rightarrow \infty$. Isto é, $I=\{z\}$, com $z\in I_{k}$, qualquer que seja $k$.

Mas dado que $\delta (z)>0$, existe $k$ tal que $(b-a)/2^{k}<\delta (z)$, Como tal, $\{(\{z\},I_{k})\}$ constitui uma partição, de pontilhado subordinado, $\delta$-fina do intervalo $I_{k}$, o que é contraditório.

A Integral de McShane

Dada uma função $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$, relativamente a uma qualquer partição pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, consideremos a respetiva soma de Riemann

$\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)=f(t_{1})(x_{1}-x_{0})+...+f(t_{n})(x_{n}-x_{n-1})$${\textstyle =\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$,

onde $T=\{t_{1},...,t_{n}\}$ e $P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}$.

Estas somas de Riemann intervêm na integral de Riemann e na integral de Henstock-Kurzweil sob a condição adicional de que o pontilhado $T$ seja subordinado à partição $P$. Para formularmos a integral de McShane essa condicionante não é tida em conta. Quer dizer, o pontilhado $T$ é livre entre todos os pontilhados admissíveis para a partição $P$.

Nestas condições, diremos que $f$ é integrável à McShane se existir um valor real ${\mathcal {M}}$ tal que:

• $(M)$ Para qualquer $\varepsilon >0$ existe um calibre $\delta (t)$ tal que qualquer que seja a partição livremente pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, que seja $\delta$-fina se tem $|\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {M|<\epsilon }}$.

A fim de relacionarmos este integral com o de Riemann e o de Riemann generalizado, recordemos que $f$ é integrável à Riemann sempre que existir um valor real ${\mathcal {I}}$ tal que:

• $(R)$ Para qualquer $\varepsilon >0$ existe um valor $\delta >0$ (ou se quisermos, um calibre constante $\delta (t)=\delta /2$) tal que qualquer que seja a partição de pontilhado subordinado, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, tal que $|P|<\delta$ (respetivamente que seja $\delta$-fina) se tem $|\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {I|<\epsilon }}$.

Mais geralmente para a integral de Henstock-Kurzweil a respetiva definição consiste na existência de um valor real ${\mathcal {H}}$, de modo que

• $(HK)$ Para qualquer $\varepsilon >0$ existe um calibre, $\delta (t)$, tal que qualquer que seja a partição de pontilhado subordinado, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, que seja $\delta$-fina se tem $|\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {H|<\epsilon }}$.

São óbvias as relações entre estes tipos de integrabilidade que indicamos no seguinte teorema.

Teorema 3

Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Então são válidas as seguintes implicações:

• $f$ é integrável à Riemann $\Rightarrow$ $f$ é integrável segundo Henstock-Kurweil;
• $f$ é integrável à McShane $\Rightarrow$ $f$ é integrável segundo Henstock-Kurzweil.

Em qualquer dos casos as integrais correspondentes coincidem.

Unicidade

É fácil de demonstrar, em qualquer dos integrais acima apresentados, a unicidade do valor do integral.

Para o caso do integral de McShane suponhamos que existem dois valores, ${\mathcal {M}}_{1}$ e ${\mathcal {M}}_{2}$, para os quais é verificada a condição $(M)$.

Tome-se $\varepsilon =|{\mathcal {M}}_{1}-{\mathcal {M}}_{2}|/2$ e calibres $\delta _{1}(t)$ e $\delta _{2}(t)$ tais que:

• $|\sigma ({\dot {P}}(T_{1},P_{1}),f)-{\mathcal {M_{1}|<\epsilon }}$, para qualquer partição livremente pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{1},P_{1})}$, $\delta _{1}$-fina,

e

• $|\sigma ({\dot {P}}(T_{2},P_{2}),f)-{\mathcal {M_{2}|<\epsilon }}$, qualquer que seja a partição livremente pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{2},P_{2})}$, $\delta _{2}$-fina.

Seja $\delta (x)=min\{\delta _{1}(x),\delta _{2}(x)\}$ e usemos o Teorema 2 para obtermos uma partição pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, que seja $\delta$-fina.

Então, como ser $\delta$-fina implica ser $\delta _{1}$-fina e $\delta _{2}$-fina, obtemos

$|{\mathcal {M}}_{1}-{\mathcal {M}}_{2}|\leqslant |\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {M_{1}|}}$$+|\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {M}}_{2}|<2\varepsilon =|{\mathcal {M}}_{1}-{\mathcal {M}}_{2}|$,

o que é contraditório.

Para os integrais de Riemann e de Henstock-Kurzweil a mesma demonstração pode ser seguida passo a passo.

Alguns exemplos

Exemplo 2

Com $a<b$, seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $f(a)=f(b)=0$ e $f(x)=1$ se $x\in ]a,b[.$ Como se sabe, esta função é integrável à Riemann e o valor do sua integral é $b-a.$ Mostremos que a função também é integrável à McShane, assumindo a integral respetiva, o mesmo valor.

Então dado $\varepsilon >0$ seja $\delta (t)>0$ o calibre dado por $\delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4$ e $\delta (t)=b-a$ se $t\in ]a,b[.$

Considerando uma partição pontilhada ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}$ podemos decompo-la nas sequências:

$(a,[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}])$, para $j=1,...,\lambda$,

$(b,[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])$, onde $k=1,...,\mu$, e

$(t_{i_{r}},[x_{i_{r}-1},x_{i_{r}}])$, com $r=1,...,\nu$, em que $t_{i_{r}}\in ]a,b[$ $(\lambda +\mu +\nu =n).$

Deste modo, $\sigma ({\dot {\mathcal {P}}}(T,P),f)=\textstyle \sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})$ e por conseguinte,

$|\sigma ({\dot {\mathcal {P}}}(T,P),f)-(b-a)|=\textstyle \sum _{j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})+\textstyle \sum _{k=1}^{\mu }\displaystyle (x_{i_{k}}-x_{i_{k}-1}).$

Assim, se ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)$ for $\delta$-fina temos

$[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [a-\delta (a),a+\delta (a)]$, para $j=1,...,\lambda$, e

$[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}]\subset [b-\delta (b),b+\delta (b)]$, com $k=1,...,\mu$.

Atendendo a que estes intervalos não intersetam o seu interior, sendo no máximo justapostos, obtemos

$|\sigma ({\dot {\mathcal {P}}}(T,P),f)-(b-a)|<2\delta (a)+2\delta (b)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Logo $f$ é integrável à McShane e o valor do seu integral é $b-a.$

O exemplo seguinte mostra que existe uma distinção entre a integral de Riemann e a integral de McShane.

Exemplo 3

Seja $d:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ a conhecida função de Dirichlet dada por

$d(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x{\text{ é racional,}}\\0,&{\text{se }}x{\text{ é irracional,}}\end{cases}}$

que sabemos não ser integrável à Riemann. Mas mostremos tratar-se de uma função integrável no sentido de McShane.

Para isso comecemos por considerar o conjunto numerável, $\{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}$, dos números racionais do intervalo $[a,b]$ e para $\varepsilon >0$, qualquer, constituamos o calibre

$\delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{se }}x=r_{n}{\text{ e }}n=1,2,...,\\1,&{\text{se }}x{\text{ é irracional.}}\end{cases}}$

Seja ${\dot {\mathcal {P}}}(T,P)=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}$ uma partição livremente pontilhada $\delta$-fina tendo como soma de Riemann $\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})$.

Tendo em conta que $f(t_{i})=0$ sempre que $t_{i}$ é irracional, eliminemos da sequência de pares que constituem a partição pontilhada, os pares $(t_{i},[x_{i-1},x_{i}])$ em que $t_{i}$ é irracional. O que resta são subsequências do tipo $(r_{k},[x_{i_{1}-1},x_{i_{1}}]),...,(r_{k},[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])$ em que cada intervalo $[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset ]r_{k}-\delta (r_{k}),r_{k}+\delta (r_{k})[$, $j=1,...,k.$ Atendendo a que os diversos subintervalos determinados pela partição são justapostos, cada uma destas subsequências dá origem na soma de Riemann a subsomas do tipo

${\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})<2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

Logo ${\textstyle 0\leq \sigma ({\dot {P}}(T,P),f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }$, o que prova que a função de Dirichlet é integrável à McShane sendo o valor da integral respetiva igual a zero.

Relação com derivadas

Qualquer dos três integrais acima definidos verifica as propriedades elementares relativas a funções reais definidas num intervalo $[a,b]$ que a seguir enumeramos, onde por ${\textstyle \int _{a}^{b}f}$ designamos indistintamente o valor de cada um desses integrais

1. Se $f$ é integrável em $[a,b]$ então $f$ é integrável em cada subintervalo de $[a,b]$.
2. Se $f$ é integrável em $[a,c]$ e $[c,b]$ então $f$ é integrável em $[a,b]$ e ${\textstyle \int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f=\int _{a}^{b}f}$.
3. Se $f$ é contínua em $[a,b]$ então $f$ é integrável em $[a,b]$.
4. Se $f$ é monótona em $[a,b]$ então $f$ é integrável em $[a,b]$.
5. Seja $\phi :[a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]$ uma função diferenciável e estritamente monótona. Então $f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R}$ é integrável em $[\alpha ,\beta ]$ se e só se ${\textstyle (f\circ \phi )|\phi '|}$ é integrável em $[a,b]$, caso em que ${\textstyle \int _{a}^{b}(f\circ \phi )|\phi '|=\int _{\alpha }^{\beta }f}$.
6. Se $f$ é integrável em $[a,b]$ então $kf$ é integrável em $[a,b]$ e ${\textstyle \int _{a}^{b}kf=k\int _{a}^{b}f}$, para cada $k\in \mathbb {R}$.
7. Sejam $f$ e $g$ funções integráveis em $[a,b]$. Então:

• $f+g$ é integrável em $[a,b]$ e ${\textstyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}$

• $f\leq g$ em $\left[a,b\right]$${\textstyle \Rightarrow \int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g}$.

No que respeita aos integrais de Henstock-Kurzweil e de McShane as demonstrações destas propriedades são idênticas excetuando ligeiras variações inerentes às diferenças de definição (ver, por exemplo, Washek Pfefer [Sec. 6.1]). Olhando também o que acima foi referido, se atentarmos na demonstração da unicidade da integral de McShane, ela pode repetir-se verbatim para concluir a unicidade da integral de Henstock-Kurzweil.

Observamos assim inicialmente um certo paralelismo entre estes dois integrais. Porém, surge uma impercetível rutura entre eles quando se analisam outras propriedades, como as que respeitam a integrabilidade absoluta e a integrabilidade das derivadas de funções integráveis.

A este respeito são válidos os seguintes teoremas (ver [Prop.2.2.3 e Th. 6.1.2]).

Teorema 4 (da integrabilidade absoluta da integral de McShane)

Se $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ integrável em $[a,b]$, segundo McShane, então também $|f|$ é integrável à McShane em $[a,b]$ e ${\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}$.

Teorema 5 (fundamental do integral de Henstock-Kurzweil)

Se ${\textstyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ é diferenciável em $[a,b]$, então ${\textstyle F'}$ é integrável em $[a,b]$ segundo Henstock-Kurzweil e${\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$.

Com o objetivo de ilustrar estes teoremas analisemos o seguinte exemplo.

Exemplo 4

Consideremos a seguinte função:

$F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0.\end{cases}}$

Trata-se de uma função obviamente diferenciável se $x\neq 0$, igualmente diferenciável em $x=0$, já que ${\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}$.

Além disso,

${\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0.\end{cases}}}$

Como a função

$h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0,\end{cases}}$

é contínua e, pelo Teorema 5, a função $F'(x)$ é, por exemplo, em $[0,1],$ integrável segundo Henstock-Kurzweil, então, pelas propriedades 6 e 7, o mesmo sucede à função

${\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0.\end{cases}}}$

Ora a função

${\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0,\end{cases}}}$

não é integrável em $[0,1]$ para nenhuma das integrais mencionadas. Na verdade, se o fosse, designando qualquer dessas integrais por ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}$ teríamos necessariamente ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}$para qualquer $n\in {\mathbb {N} }$. Procedendo à mudança de variável ${\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}$, obtemos de acordo com a propriedade 5:

$\int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq$

$\geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}$.

Atendendo a que $n\in {\mathbb {N} }$ é arbitrário e ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }$, chegamos a uma contradição.

Das situações descritas neste exemplo, podemos então tirar as seguintes consequências:

I) O Teorema 4 não é válido para o integral segundo Henstock-Kurzweil, já que $g_{0}$ é integrável à Henstock-Kurzweil e $g$ não é.

II) O Teorema 5 não é válido para o integral de McShane. Se o fosse então $F'$ seria integrável à McShane, o mesmo sucedendo a $g_{0}$, e pelo Teorema 4 também a $g$, obtendo-se assim um absurdo.

III) $F'$ pode figurar assim como exemplo de uma função integrável segundo Henstock-Kurzweil que não é integrável à McShane. Isto é, tendo em conta o Teorema 3, a classe das funções integráveis à McShane é mais restrita que a das integráveis segundo Henstock-Kurzweil.

Relação com a integral de Lebesgue

O resultado mais importante e talvez o mais surpreendente da integral de McShane é o que descrevemos no teorema seguinte.

Teorema 6

Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Então

$f$ é integrável à McShane $\Leftrightarrow$ $f$ é integrável à Lebesgue.

As integrais correspondentes coincidem.

A demonstração deste teorema não é imediata. Antes obriga a que se estabeleçam previamente vários resultados para a integral de McShane em relação com resultados já conhecidos da integral de Lebesgue. Neste sentido, chamamos a atenção do leitor para Washek Pfeffer [Ch. 4] e também para os trabalhos de Robert McLeod [Ch. 8], Russel Gordon [Ch. 10] e Douglas Kurtz e Charles Swartz.

Constitui-se com ele uma espécie de unificação da teoria da integração em torno das somas de Riemann que praticamente lhe deram origem.