Lei de Wien

Wien foi um brilhante cientista

Lei de Wien

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que afirma que existe um relação inversa entre o comprimento de onda que produz um pico de emissão de um corpo negro e a sua temperatura.

$\lambda _{max}={\frac {b}{T}}$

onde

$\lambda _{max}\,$ é o comprimento de onda que gera o pico em metros,

$T\,$ é a temperatura do corpo negro em kelvin (K), e

$b\,$ é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em kelvin-metros.

O valor dessa constante é $b=2.8977685\times 10^{-3}$

O que resulta em:

$\lambda _{\mbox{max}}={\frac {0.0028976m}{T}}$

As consequências da lei de Wien é que quanto maior seja a temperatura de um corpo negro menor é o comprimento de onda na qual emite. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de 5780 K e o pico de emissão se produz a 475 nm =$(4,75\cdot 10^{-7}m)$. Como 1 angstrom 1 Å= 10^-10 m=10^-4 micras resulta que o máximo ocorre a 4750 Å. Como o espectro visível se estende desde 4000 Å até 7400 Å, este comprimento de onda cai dentro do espetro visíble sendo um tom de verde. Entretanto, devido à dispersão de Rayleigh da luz azul pela atmosfera o componente azul se separa distribuindo-se pela abóbada celeste e o Sol aparece amarelento.

Dedução da Lei de Wien

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

$E(\lambda ,T)={C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}={C_{1}\cdot \lambda ^{-5} \over (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}$

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades ou sistema MKS:

$C_{1}=8\pi hc=4,99589\cdot 10^{-24}[J\cdot m]$

$C_{2}={hc \over k}=1,4385\cdot 10^{-2}{m\cdot K}=1,4385\cdot 10^{4}[\mu m\cdot K]$

Para encontrar o máximo da derivada da função com respeito a $\lambda$ tem de ser zero.

${\partial (E(\lambda ,T)) \over \partial \lambda }=0$

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

${\frac {c_{2}}{\lambda \cdot T}}=5\cdot (1-e^{-C_{2} \over \lambda \cdot T})$

Se definimos

$x\equiv {c_{2} \over \lambda T}$

então

${x \over 1-e^{-x}}-5=0$

Esta equação não pod ser resolvida mediante funções elementares. Como uma solução exata não é important podemos optar por soluções aproximadas. Se pode encontrar facilmente um valor aproximado para $x$:

Se x é grande resulta que aproximadamente $e^{-x}=0\,$ assim que x está próximo de 5. Assim que aproximadamente $x=5(1-e^{-5})=4.9663\,$.

Utilizando o método de Newton ou da tangente:

$x=4.965114231744276\ldots$

Da definição de x resulta que:

$\lambda _{\max }\cdot T={\frac {c_{2}}{x}}={\frac {1.4385\cdot 10^{4}}{4.965114231744276}}=2897,6\mu mK$

Assim que a constante de Wien é $2897,6\mu m\cdot K$ pelo que:

$\lambda _{\max }\cdot T=2897,6\mu m\cdot K$

Ligações externas

• Fórmula empírica de Wien - fma.if.usp.br