Em um triângulo ABC qualquer, de lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as relações:
Demonstração
A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:
Forma Geométrica
Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:
.
Destes, pode-se extrair as seguintes relações:
e
.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:
e para BAD:
Substituindo:
e
em
teremos:
Entretanto, pode-se substituir a relação , do triângulo , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
Forma Vetorial
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores:
Definimos um vetor como sendo igual a temos um triângulo formado pela soma e o resultante . Sabendo que e sendo o ângulo entre os vetores e temos o seguinte desenvolvimento:
Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:
Já que é o ângulo formado entre os vetores e e considerando que o ponto da origem de é o mesmo da origem de , dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor , logo formando um ângulo .
Forma Matricial
Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:
sw e igual a um numero que vezez ele mnesmo da 902 e isso tambem se diferencia em um lado de medida
Somando as duas equações, como , obtêm-se a relação:
. Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:
Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos: