Leis de Kepler

Johannes Kepler (1571 – 1630) foi um matemático e astrônomo alemão cuja principal contribuição à astronomia e astrofísica foram as três leis do movimento planetário.

Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e descobriu, por volta de 1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do movimento planetário desafiavam a astronomia e física de Aristóteles e Ptolomeu. Sua afirmação de que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos planetas variavam, mudaram a astronomia e a física.

Em 1596, Kepler publicou Mysterium Cosmographicum, onde expôs argumentos favoráveis às hipóteses heliocêntricas. Em 1609 publicou Astronomia Nova… De Motibus Stellae Martis, onde apresentou as três leis do movimento dos planetas, que hoje levam seu nome:

• Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol num dos focos.
• O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais. (lei das áreas)
• Os quadrados dos períodos de revolucão (T) são proporcionais aos cubos das distâncias médias (a) do Sol aos planetas. $T^{2}=ka^{3}$, onde k é uma constante de proporcionalidade.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

==Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas Elípticas==segundo Augusto adoni e Madula Januario: "O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos".

Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.

==Segunda Lei de Kepler: Lei das áreas==ou lei de adoni e Januario

Ilustração da segunda lei de Kepler

"A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais".

Esta lei determina que os planetas se movem com velocidades diferentes, dependendo da distância a que estão do Sol.

• Periélio é o ponto mais próximo do Sol, onde o planeta orbita mais rapidamente.
• Afélio é o ponto mais afastado do Sol, onde o planeta move-se mais lentamente.

==Terceira Lei de Kepler: Lei dos tempos==ou lei de agusto e Madula "Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos eixos maiores de suas órbitas".

Ou seja, sendo T o período de revolução (ano do planeta) e D o eixo maior da órbita de um planeta, tem-se:

${\frac {T^{2}}{D^{3}}}=k$, com k constante.

Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o tempo que ele demora para completar uma revolução em torno do Sol. Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.

Descobertas posteriores

A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois quando Isaac Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como Leis de Newton e de sua Lei da gravitação universal, usando sua invenção do cálculo. É possível notar, de suas leis, que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos.

Em 1687, Newton publicou os Principia, onde explica as forças que agem sobre os planetas devido à presença do Sol:

"Da primeira lei de Kepler que a força que age constantemente sobre o planeta tem sua linha de ação passando pelo Sol, para o qual é dirigida. Portanto o Sol tudo atrai. Da segunda que essa força é também inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Ou seja, que quanto mais perto o planeta está maior é a força de atração do Sol. E da terceira que devido ao Sol, a força que age constantemente sobre o planeta, além de ser central, estar dirigida para o Sol e ser inversamente proporcional ao quadrado da distância, é diretamente proporcional à massa do planeta. O coeficiente de proporcionalidade não depende do planeta."

Derivação das Leis de Kepler

Com a Teoria da Gravitação Universal de Isaac Newton, foi possível postular um único princípio:

${\vec {F}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}}$

que, aliado às Três Leis de Newton, foi capaz de explicar completamente as observações astronômicas conhecidas até a época e ainda depois, até a descoberta de que a velocidade da luz no vácuo é constante para todos os referenciais. Essa descoberta levou à criação da Teoria da Relatividade Restrita e, consequentemente, da Teoria da Relatividade Geral, que, para certos fenômenos que até então não haviam sido observados, invalida a teoria de Newton da gravitação.

No entanto, as Leis de Newton e a sua teoria da gravidade são mais do que o suficiente para explicar as Leis de Kepler. De fato, as três leis são deriváveis da simples equação postulada acima, de modo que ainda aparecem mais completas do que da forma descrita por Kepler.

Para derivá-las, é preciso introduzir alguns conceitos.

${\dot {x}}$ representa a derivada temporal de x, enquanto ${\ddot {x}}$ é a derivada temporal segunda de x.

${\hat {r}}$ é o vetor unitário que indica a direção do planeta em relação à sua estrela. A derivada temporal desse vetor, que representaremos como ${\dot {\hat {r}}}$ é igual a ${\dot {\theta }}.{\hat {\theta }}$, onde ${\dot {\theta }}$ é a velocidade angular do planeta em relação à estrela, e ${\hat {\theta }}$ é um vetor unitário perpendicular a ${\hat {r}}$. Existem duas direções possíveis de um vetor unitário perpendicular a outro, mas a direção deste é escolhida de modo que ${\hat {r}}$ tivesse que virar no sentido anti-horário para apontar na mesma direção dele. A derivada de ${\hat {\theta }}$, por sua vez, é $-{\dot {\theta }}.{\hat {r}}$.

O vetor ${\vec {r}}$ é o vetor-posição do planeta em relação à sua estrela, e é definido como ${\vec {r}}=r{\hat {r}}$, onde $r$ é o módulo da distância entre o planeta e a estrela. Assim, ${\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}}$. Seguindo daí,

${\ddot {\vec {r}}}={\ddot {r}}{\hat {r}}+{\dot {r}}{\dot {\hat {r}}}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\theta }}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\theta }}}$

${\ddot {\vec {r}}}={\ddot {r}}{\hat {r}}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\theta }}-r{\dot {\theta }}{\dot {\theta }}{\hat {r}}$.

Organizando, temos, ${\ddot {\vec {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}$

Isso será usado na derivação das leis, que vem a seguir:

Primeira lei de Kepler

Em primeiro lugar, consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são desprezíveis em comparação com a sua distância ao sol). Então, usamos a teoria da gravitação universal:

${\vec {F}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Supondo que a massa do planeta é constante, (o que está de acordo com os sistemas observados por kepler), usamos a primeira lei de Newton.

$m{\ddot {\vec {r}}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}}$

${\ddot {\vec {r}}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}{\hat {r}}$

$({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}=G{\frac {M}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Assim,

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-G{\frac {M}{r^{2}}}$

e

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0$

Da última, podemos derivar a conservação do momento angular, multiplicando os dois membros por $mr$:

$mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0$

${\frac {d}{dt}}[mr^{2}{\dot {\theta }}]=0$

$mr^{2}{\dot {\theta }}=l$

onde $l$ é uma constante, que sabemos ser a magnitude do momento angular.

Podemos transformar derivadas temporais em derivadas em relação a $\theta$, a partir da seguinte relação:

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {l}{mr^{2}}}$

Se tivermos a derivada de qualquer função X(t) em relação ao tempo, podemos usar a regra da cadeia:

${\frac {dX}{dt}}={\frac {dX}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}$

${\frac {dX}{dt}}={\frac {l}{mr^{2}}}{\frac {dX}{d\theta }}$

O que é de grande utilidade na equação diferencial:

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-G{\frac {M}{r^{2}}}$

${\frac {l}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}[{\frac {l}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}]-r{\dot {\theta }}^{2}=-G{\frac {M}{r^{2}}}$

${\frac {l}{mr^{2}}}.\left(-2{\frac {l}{mr^{3}}}({\frac {dr}{d\theta }})^{2}+{\frac {l}{mr^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\right)-r{\dot {\theta }}^{2}=-G{\frac {M}{r^{2}}}$

$-2{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{5}}}({\frac {dr}{d\theta }})^{2}+{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-G{\frac {M}{r^{2}}}$

É preciso aqui extrair do momento angular uma relação útil:

$l=mr^{2}{\dot {\theta }}$

${\dot {\theta }}={\frac {l}{mr^{2}}}$

Substituindo na equação principal,

$-2{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{5}}}({\frac {dr}{d\theta }})^{2}+{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{3}}}=G{\frac {M}{r^{2}}}$

Aqui, convém usar uma transformação de variável:

$u=r^{-}1$

${\frac {du}{d\theta }}=-r^{-}2{\frac {dr}{d\theta }}$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=2r^{-}3({\frac {dr}{d\theta }})^{2}-r^{-}2{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$

Utilizando-a na equação diferencial, a simplificamos significativamente.

$-{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{2}}}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-{\frac {l^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}$

$-{\frac {l^{2}}{m^{2}}}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-{\frac {l^{2}}{m^{2}r}}=-GM$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GMm^{2}}{l^{2}}}$

A função que satisfaz à essa equação diferencial é:

$u={\frac {GMm^{2}}{l^{2}}}+\epsilon cos(\theta +{\theta }_{0})$

Ou seja,

$r={\frac {l^{2}}{GMm^{2}}}{\frac {1}{1+\epsilon cos(\theta +{\theta }_{0})}}$

$\epsilon$ é uma constante arbitrária de integração, e pode ser obtido se for dada a posição do planeta em qualquer instante. Com $\epsilon$ menor do que 1, temos a equação de uma elipse escrita em coordenadas polares. Se $\epsilon$ for 0, a equação é a de um círculo.

Assim, derivamos a Primeira Lei de Kepler.

Segunda Lei de Kepler

A segunda Lei de Kepler é bem mais simples de se derivar.

A área descrita pelo raio-vetor que liga o planeta à sua estrela durante um certo tempo é dada por

$\sum _{i}^{N}a_{i}$

Onde $a_{i}$ são as áreas pecorridas em frações desse tempo. Podemos fazer essas frações de tempo arbitrariamente pequenas, e consequentemente teremos um N cada vez maior. Nada se altera se fizermos o limite em que as frações de tempo tendem a 0, ou seja:

$A=\lim _{N\to \infty }\sum _{i}^{N}a_{i}$.

Quando tomamos áreas $a_{i}$ menores, elas se aproximam arbitrariamente da área de um triângulo com base $\Delta r_{i}$ e altura $r_{i}$, onde $r_{i}$ é a magnitude do raio vetor ${\vec {r}}_{i}$ que liga o planeta à sua estrela em algum instante dentro de um intervalo de tempo $[t,t+\Delta t]$, e $\Delta r_{i}=|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{i-1}|$, com ${\vec {r}}_{i-1}$ sendo o análogo de $r_{i}$ em algum instante dentro do intervalo $[t-\Delta t,t]$. Ou seja, $\Delta r_{i}$ é simplesmente a distância percorrida pelo planeta em um certo tempo.

Ou seja, as áreas $a_{i}$ se aproximam arbitrariamente de:

${\frac {r_{i}.\Delta r_{i}}{2}}$

$\Delta r_{i}$ também pode se expressado como $v_{i}\Delta t$, onde $v_{i}$ é a velocidade do planeta, em algum instante do mesmo intervalo de tempo de $r_{i}$.

Quando N tende a infinito, $\Delta t$ tende a 0. Assim,

$\lim _{N\to \infty }\sum _{i}^{N}a_{i}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i}^{N}{\frac {r_{i}.v_{i}\Delta t}{2}}$

O que constitui uma integral:

$A=\int _{0}^{t}{\frac {rv}{2}}dt$

ou, como $v=r{\dot {\theta }}$,

$A=\int _{0}^{t}{\frac {r^{2}{\dot {\theta }}}{2}}dt$

$r^{2}{\dot {\theta }}$ é o momento angular sobre a massa, o que nesse caso permanece sempre constante. Assim, a integral dá:

$A={\frac {l}{2m}}t$

Como o momento angular é sempre o mesmo, são percorridas áreas iguais em tempos iguais. Temos a segunda Lei de Kepler

Terceira Lei de Kepler

A terceira Lei de Kepler é mais sutil. Ela é escrita em função do raio médio, então devemos achar esse raio. Na equação do raio:

$r={\frac {l^{2}}{GMm^{2}}}{\frac {1}{1+\epsilon cos(\theta +{\theta }_{0})}}$

A única variável é o $cos(\theta +{\theta }_{0})$, de modo que o raio médio corresponde ao valor médio dessa variável. Esse valor corresponde a $(\theta +{\theta }_{0})={\frac {\pi }{2}}$, ou seja, $cos(\theta +{\theta }_{0})=0$ . Assim, o raio médio correspondente é:

${r}_{med}={\frac {l^{2}}{GMm^{2}}}$

Podemos pensar também na velocidade angular média, correspondente ao raio médio. Ambos estão ligados através do momento angular ($l=m{{\dot {\theta }}_{med}}{r}_{med}^{2}$). Então

$l=m{{\dot {\theta }}_{med}}{\frac {l^{4}}{G^{2}M^{2}m^{4}}}$

${{\dot {\theta }}_{med}}={\frac {G^{2}M^{2}m^{3}}{l^{3}}}$

Uma definição importante é a do período, em função da velocidade angular média:

$P={\frac {2\pi }{{\dot {\theta }}_{med}}}$

A presença da velocidade angular média nessa equação é justificada pelo fato de que deve haver algum valor da velocidade angular, em algum instante, que satisfaça a essa equação. Esse valor é justamente o da velocidade angular média.

É possível demonstrar que o período de um planeta com órbita circular de raio ${r}_{med}$ e velocidade angular ${{\dot {\theta }}_{med}}$ é igual ao período de qualquer planeta com órbita elíptica de raio médio ${r}_{med}$ e velocidade angular média ${{\dot {\theta }}_{med}}$. Isso é feito através da Segunda Lei de Kepler. A área total de um círculo é $\pi {r}_{med}^{2}$, e a área total de uma elipse é, pela Segunda Lei, ${\frac {l}{2m}}P$. Através da definição de $P$ acima, vemos:

$A={\frac {l}{2m}}P$

$A={\frac {l\pi }{{m{\dot {\theta }}}_{med}}}$

$A={\frac {l^{4}\pi }{G^{2}M^{2}m^{4}}}$

Lembrando a equação correspondente ao raio médio (${r}_{med}={\frac {l^{2}}{GMm^{2}}}$), temos:

$A={r}_{med}^{2}\pi$

Que corresponde à área do círculo. Como, pela Segunda Lei, áreas iguais são percorridas em tempos iguais, então o período do planeta de órbita elíptica pode ser tomado a partir do período de uma órbita circular correspondente.

$P={\frac {2\pi }{{\dot {\theta }}_{med}}}$

$P={\frac {2\pi l^{3}}{G^{2}M^{2}m^{3}}}$

$P={\frac {2\pi {r}_{med}^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {GM}}}$

$P^{2}={\frac {4\pi ^{2}{r}_{med}^{3}}{GM}}$

${\frac {P^{2}}{{r}_{med}^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}$

O que constitui a terceira lei de Kepler.

Ver também

• Isaac Newton
• Lei da gravitação universal
• Leis de Newton
• Tycho Brahe
• Galileu Galilei
• Dedução da lei de gravitação universal

Ligações externas

• Matéria sobre quarta Lei de Kepler (que não é válida)