Média e covariância amostrais

A média amostral ou média empírica e a covariância amostral são cálculos de estatística feitos a partir de uma coleta de dados em uma ou mais variáveis aleatórias. A média amostral é um vetor onde cada um dos elementos é a média da amostra de uma das variáveis aleatórias, ou seja, cada um dos elementos é a média aritmética dos valores observados de uma das variáveis. A matriz da covariância de amostra é quadrada, cujo i, j elemento é a covariância da amostra (uma estimativa da covariância da população ) entre os conjuntos de valores observados de duas das variáveis e cujo i, i elemento é a variância da amostra de valores observados de uma das variáveis . Se apenas uma variável teve valores observados , em seguida, a média da amostra é um único número (a média aritmética dos valores observados para a variável) e a matriz da covariância de amostra é simplesmente um único valor (a variância da amostra de valores observados de que variável).

Média amostral

Seja $x_{ij}$ a i-ésima observação desenhada independentemente (i=1,...,N) no j^th. Estas observações podem ser organizadas em N vetores coluna, cada um com entradas K e com K × 1 vetor coluna dando a i^th observações de todas as variáveis sendo denotado $\mathbf {x} _{i}$ (i=1,...,N).

A média do vetor da amostra $\mathbf {\bar {x}}$ é um vetor coluna cujo j ^th elemento ${\bar {x}}_{j}$ é o valor médio das observações N da j ^th da variável:

${\bar {x}}_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{ij},\quad j=1,\ldots ,K.$

Assim, a média amostral do vetor contém a média das observações para cada variável, e é escrita:

$\mathbf {\bar {x}} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {x} _{i}.$

Covariância amostral

A matriz da covariância amostral é definida por K-x - K matriz $\textstyle \mathbf {Q} =\left[q_{jk}\right]$ com entradas:

$q_{jk}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right),$

Onde, $q_{jk}$ é a estimativa da covariância entre a variável j^th e o k^th variável da população subjacente aos dados.

Em termos dos vetores de observação, a covariância da amostra é:

$\mathbf {Q} ={1 \over {N-1}}\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {\bar {x}} )^{\mathrm {T} },$

Por outro lado, organizando os vetores de observação como as colunas de uma matriz, de modo que

$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\dots &\mathbf {x} _{N}\end{bmatrix}}$,

que é uma matriz de linhas K e colunas N. Assim, a matriz de covariância de amostra pode ser calculada com:

$\mathbf {Q} ={\frac {1}{N-1}}(\mathbf {F} -\mathbf {\bar {x}} \,\mathbf {1} _{N}^{\mathrm {T} })(\mathbf {F} -\mathbf {\bar {x}} \,\mathbf {1} _{N}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }$,

onde, $\mathbf {1} _{N}$ é o “N” por 1 do vetor.

Se as observações são dispostas como as linhas, em vez de colunas, de modo que $\mathbf {\bar {x}}$ é agora um 1 × K vetor linha e $\mathbf {M} =\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }$ > é uma matriz × K N' j cuja coluna é o vetor de observações n na variável “j”, em seguida, transpomos os lugares rendimentos apropriados:

$\mathbf {Q} ={\frac {1}{N-1}}(\mathbf {M} -\mathbf {1} _{N}\mathbf {\bar {x}} )^{\mathrm {T} }(\mathbf {M} -\mathbf {1} _{N}\mathbf {\bar {x}} ).$

Discussão

A média amostral e a matriz de covariância amostral são estimativas imparciais da média e a matriz de covariância do vetor aleatório $\textstyle \mathbf {X}$ , um vetor linha cujos j ^th elemento (j = 1, ..., K) é uma das variáveis aleatórias. A matriz da covariância da amostra tem $\textstyle N-1$ no denominador, em vez de $\textstyle N$ devido a uma variação na função de Bessel: Em suma, a covariância da amostra baseia-se na diferença entre cada observação e a média amostral, mas a média amostral é correlacionada com cada observação. Se a média da população ( $\operatorname {E} (\mathbf {X} )$ )é conhecida, a estimativa imparcial análoga

$q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-\operatorname {E} (X_{j})\right)\left(x_{ik}-\operatorname {E} (X_{k})\right),$ usando a média da população , temos $\textstyle N$ no denominador.

Este é um exemplo do por que em probabilidade e estatística é essencial distinguir variável aleatória (letras maiúsculas) e o valor observado das variáveis aleatórias (letras minúsculas).

O valor máximo estimado

$q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right)$

para a distribuição Gaussiana caso tem N no denominador também. A proporção de 1 / N a 1 / ( N- 1 ) se aproxima de 1 para grande N , de modo que a estimativa máxima da probabilidade é aproximadamente igual à estimativa imparcial quando o amostra é grande.

Variância da média amostral

Para cada variável aleatória, a média amostral é um bom estimador da média da população , onde um "bom" estimador é definido como sendo eficiente e imparcial. Claro que o estimador provavelmente não será o verdadeiro valor da população significa que diferentes amostras retiradas da mesma distribuição dará diferentes médias amostrais e, portanto, diferentes estimativas da média verdadeira. Assim, a média amostral é uma variável aleatória, não uma constante e, consequentemente, tem a sua própria distribuição. Para uma amostra aleatória de observações n no “j ^th variável aleatória , a própria distribuição da média amostral tem média igual à média da população $E(X_{j})$ e variância igual a ${\frac {\sigma _{j}^{2}}{N}},$, onde $\sigma _{j}^{2}$ é a variância da variável aleatória “X” _j.

Amostras ponderadas

Numa amostra ponderada, para cada vetor $\textstyle {\textbf {x}}_{i}$ (cada conjunto de observações individuais em cada um dos K variáveis aleatórias) é atribuído um peso $\textstyle w_{i}\geq 0$. Sem perda de generalidade, suponha que os pesos são constantes normais:

$\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.$

(Se eles não estiverem, dividir os pesos por sua soma). Em seguida, o vetor ponderado $\textstyle \mathbf {\bar {x}}$ é dado pela

$\mathbf {\bar {x}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.$

E os elementos $q_{jk}$ da matriz de covariância ponderada $\textstyle \mathbf {Q}$ são

$q_{jk}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\left(\sum _{i=1}^{N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right).$

Se todos os pesos são os mesmos , $\textstyle w_{i}=1/N$, a média ponderada e covariância reduzir para a média amostral e covariância acima.

Crítica

A média amostral e covariância de amostra são amplamente utilizados em estatísticas e aplicações, e são medidas extremamente comuns de localização e dispersão, respectivamente, provavelmente o mais comum: eles são facilmente calculado e possuir características desejáveis.

No entanto, eles sofrem de certos inconvenientes; nomeadamente, eles não são estatísticas robustas, o que significa que eles são sensivelmente discrepantes. Como robustez é muitas vezes uma característica desejada, particularmente em aplicações do mundo real, alternativas robustas pode revelar-se desejável , nomeadamente estatísticas quantis baseadas na mediana da amostra para localização, , e intervalo interquartil (IQR) para dispersão. Outras alternativas incluem corte e Winsorising.