Número de Prandtl turbulento

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O número de Prandtl turbulento (Pr_t) é um termo adimensional definido como a razão entre o momento difusividade turbulenta e a difusividade turbulenta de transferência de calor. É útil para resolver o problema da transferência de calor por convecção de fluxos de camada limite turbulenta. O mais simples modelo para Pr_t é a analogia de Reynolds, a qual resulta um número de Prandtl turbulento de 1. De dados experimentais, Pr_t tem uma média de 0,85 , mas varia de 0,7 a 0,9 dependendo do número de Prandtl do fluido em quatão.

Definição[editar | editar código-fonte]

A introdução da difusividade turbulenta e subsequentemente o número de Prandtl turbulento funciona como um meio de se definir uma relação simples entre a tensão extra de cisalhamento e fluxo de calor que está presente em um fluxo turbulento. Se o momento e coeficientes de difusão térmica são nulos (sem tensão de cisalhamento aparente e fluxo de calor turbulento), então as equações de fluxo turbulento reduzem-se a equações laminares. Podemos definir os coeficientes de difusão para a transferência de momento \epsilon_M e transferência de calor

\epsilon_H as
-\overline{u'v'} = \epsilon_M \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} and -\overline{v'T'} = \epsilon_H \frac{\partial \bar{T}}{\partial y}

onde -\overline{u'v'} é a tensão de cisalhamento turbulento aparente e -\overline{v'T'} é o fluxo de calor turbulento aparente.
O número de Prandtl turbulento é então definido como

Pr_t = \frac{\epsilon_M}{\epsilon_H}.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A equação da camada limite de momento turbulento:

\bar {u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar {v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{d\bar{P}}{dx} + \frac{\partial}{\partial y} \left [(\nu \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} - \overline{u'v'}) \right].

A equação da camada limite térmica turbulenta,

\bar {u} \frac{\partial \bar{T}}{\partial x} + \bar {v} \frac{\partial \bar{T}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left (\alpha \frac{\partial \bar{T}}{\partial y} - \overline{v'T'} \right).

Substituindo as difusividades turbulentas nas equações de momento e térmica obtem-se

\bar {u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar {v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{d\bar{P}}{dx} + \frac{\partial}{\partial y} \left [(\nu + \epsilon_M) \frac{\partial \bar{u}}{\partial y}\right]

e

\bar {u} \frac{\partial \bar{T}}{\partial x} + \bar {v} \frac{\partial \bar{T}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left [(\alpha + \epsilon_H) \frac{\partial \bar{T}}{\partial y}\right].

Substituindo na equação termal usando a definição do número de Prandtl turbulento, tem-se

\bar {u} \frac{\partial \bar{T}}{\partial x} + \bar {v} \frac{\partial \bar{T}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left [(\alpha + \frac{\epsilon_M}{Pr_t}) \frac{\partial \bar{T}}{\partial y}\right].

Consequências[editar | editar código-fonte]

No caso especial onde o número de Prandtl e número de Prandtl turbulento são ambos iguais a um (como na analogia de Reynolds), os perfis de velocidade e temperaturas são idênticos. Isso simplifica bastante a solução do problema de transferência de calor.[1] Se o número de Prandtl e o número de Prandtl turbulento não são iguais a um, a solução ainda é simplificada, porque por conhecer-se as propriedades do fluido, mas apenas a difusividade turbulenta de momento, ainda se pode resolver o momento e as equações térmicas.

Em um caso geral de turbulência tri-dimensional, o conceito de viscosidade turbulenta e difusividade turbulenta não são válidos. Consequentemente, o número de Prandtl turbulento não tem nenhum significado.[2]

Referências

  1. Atila P. Silva Freire, Anderson Ilha, Marcelo J. Colaço; Turbulência: Anais da V Escola de Primavera em Transição e Turbulência; Rio de Janeiro, 25 a 29 de setembro de 2006; ISBN (10 díg.): 85-85769-24-6; ISBN (13 díg.): 978-85-85769-24-6
  2. William M. Kays; Turbulent Prandtl Number—Where Are We?; J. Heat Transfer, May 1994, Volume 116, Issue 2, 284 (12 pages); doi:10.1115/1.2911398
  • Kays, William; Crawford, M., Weigand, B.. Convective Heat and Mass Transfer, Fourth Edition. [S.l.]: McGraw-Hill, 2005. ISBN 978-0072468762

Ver também[editar | editar código-fonte]