Número de enlaces

As duas curvas deste (2,4)-enlace de toros possuem um número de enlace igual a quatro.

Em matemática, o número de enlaces é um invariante numérico que descreve o enlace de duas curvas fechadas no espaço tridimensional. Intuitivamente, o número de enlaces representa o número de vezes que cada curva se envolve em torno da outra. O número de enlaces é sempre um inteiro, e pode ser positivo ou negativo dependendo da orientação das duas curvas.

O número de enlaces foi introduzido por Gauss na forma de um enlace integral. Ele é um objeto de estudo importante na na teoria dos nós, topologia algébrica e na geometria diferencial, tendo numerosas aplicações em matemática e ciência, incluindo a mecânica quântica, eletromagnetismo e o estudo de superenrolamento de ADN.

Definição[editar | editar código-fonte]

Quaisquer duas curvas fechadas em um espaço podem ser movidas para uma das seguintes posições padrão. Isso determina o número de enlaces:

$\cdots$
	Número de enlaces -2	número de enlaces -1	número de enlaces 0
					$\cdots$
		número de enlaces 1	número de enlaces 2	número de enlaces 3

Cada curva pode passar sobre si mesma durante essa movimentação, mas elas devem permanecer separadas do começo ao fim. Isso é formalizado coma a homotopia regular, que exige ainda que cada curva seja uma imersão (não apenas uma aplicação). No entanto, essa condição extra não altera a definição do número de enlaces (não faz diferença se é exigido ou não que as curvas sempre sejam imersões), o que exemplifica um princípio de homotopia, significando que a geometria se reduz à topologia.

Cálculo do número de enlaces[editar | editar código-fonte]

Existe um algoritmo para calcular o número de enlaces de duas curvas a partir de um diagrama de enlaces. Nomeie cada cruzamento como positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra^[1]:

O número total de cruzamentos positivos menos o número total de cruzamentos negativos é igual ao dobro do número de enlaces. Em outros termos:

{\mbox{número de enlaces}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}

em que n₁, n₂, n₃, n₄ representam o número de cruzamentos de cada um dos uatro tipos. As duas somas $n_{1}+n_{3}\,\!$ e $n_{2}+n_{4}\,\!$ são sempre iguais, ^[2] donde segue a seguinte fórmula alternativa

{\mbox{número de enlaces}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.

Note que $n_{1}-n_{4}$ envolve apenas os cruzamentos da curva azul por baixo da vermelha, enquanto que $n_{2}-n_{3}$ envolve apenas os cruzamentos por cima.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

↑ Essa rotulação é a mesma usada para calcular o writhe de um nó, embora neste caso só devem ser nomeados os cruzamentos que envolvam ambas as curvas do enlace.
↑ Isso segue do teorema da curva de Jordan se qualquer das curvas for simples. Por exemplo, se a curva azul for simples, então n₁ + n₃ e n₂ + n₄ representam o número de vezes que a curva vermelha atravessa para dentro e para fora da região limitada pela curva azul.

Referências[editar | editar código-fonte]

A.V. Chernavskii (2001), "Linking coefficient", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- (2001), "Writhing number", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

[1] Essa rotulação é a mesma usada para calcular o writhe de um nó, embora neste caso só devem ser nomeados os cruzamentos que envolvam ambas as curvas do enlace.

[2] Isso segue do teorema da curva de Jordan se qualquer das curvas for simples. Por exemplo, se a curva azul for simples, então n₁ + n₃ e n₂ + n₄ representam o número de vezes que a curva vermelha atravessa para dentro e para fora da região limitada pela curva azul.

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