Paradoxo do aniversário

Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo x que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas.

Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 (ou mais) pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 367 pessoas. Calcular essa probabilidade (e as relacionadas a ela) é o problema do aniversário. A matemática por trás disso tem sido utilizada para executar o ataque do aniversário.

Calculando a probabilidade

Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniformes uma vez que as datas não são equiprováveis.

É mais fácil calcular a probabilidade p(n) de que todos os n aniversários sejam diferentes. Se n > 365, pelo Princípio da Casa dos Pombos esta probabilidade é 1. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por

$\bar p(n) = 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) = { 365 \cdot 364 \cdots (365-n+1) \over 365^n } = { 365! \over 365^n (365-n)!}$

porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é

$p(n) = 1 - \bar p(n) .$

Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

n	p(n)
10	12%
20	41%
23	50.7%
30	70%
50	97%
100	99.99996%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(1 − 7×10−73) × 100%
350	(1 − 3×10−131) × 100%
367	100%

Aproximações

Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\cdots$

Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n²/(2⋅365)).

a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a

$\bar p(n) \approx 1 \cdot e^{-1/365} \cdot e^{-2/365} \cdots e^{-(n-1)/365}$

$= 1 \cdot e^{-(1+2+ \cdots +(n-1))/365}$

$= e^{-(n(n-1))/2 \cdot 365}$

Então,

$p(n) = 1-\bar p(n) \approx 1 - e^{-(n(n-1))/2 \cdot 365}$

Uma outra aproximação grosso modo é dada por

$p(n)\approx 1-e^{-n^2/{2 \cdot 365}},\,$

que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

Aproximação de Poisson

Utilizando a aproximação de Poisson para a binomial,

$\mathrm{Poi}\left(\frac{C(23, 2)}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}\left(\frac{253}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}(0.6932)$

$\Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.$

Novamente, ela é maior que 50%.

Referências gerais

• Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", American Mathematical Monthly 45 (1938), pages 348-352
• M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", Journal of Combinatorial Theory 3 (1967), pages 279-282.
• D. Bloom: "A birthday problem", American Mathematical Monthly 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

Ligações externas

• Um experimento online demonstrando o paradoxo do aniversário do utilizadores
• Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes
• Título ainda não informado (favor adicionar)
• Título ainda não informado (favor adicionar)
• Eric W. Weisstein, Birthday Problem no MathWorld
• Maple vs. paraxdoxo do aniversário
• Probability by Surprise Birthday Applet An animation for simulating the birthday paradox.
• A humorous article explaining the paradox
• The Birthday Problem Spreadsheet