Paradoxo do aniversário

Um gráfico mostrando a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário em um certo número de pessoas. A aparência de escada deve-se ao eixo x que é tomado apenas de valores inteiros, visto que indica o número de pessoas.

Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%, entretanto, ela não pode ser exatamente 100% exceto que se tenha pelo menos 367 pessoas. Calcular essa probabilidade (e as relacionadas a ela) é o problema do aniversário. A matemática por trás disso tem sido utilizada para executar o ataque do aniversário.

O problema foi apresentado pela primeira vez pelo matemático polonês Richard von Mises.

Calculando a probabilidade

Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniformes uma vez que as datas não são equiprováveis.

É mais fácil calcular a probabilidade p(n) de que todos os n aniversários sejam diferentes. Se n > 365, pelo princípio da casa dos pombos esta probabilidade é 0. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por

${\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={365\cdot 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}={365! \over 365^{n}(365-n)!}$

porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é

$p(n)=1-{\bar {p}}(n).$

Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

n	p(n)
10	12%
20	41%
23	50.7%
30	70%
50	97%
100	99.99996%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(1 − 7×10−73) × 100%
350	(1 − 3×10−131) × 100%
367	100%

Implementação em Python

def birthday(n):
    p = (1.0/365)**n
    for i in range((366-n),366):
        p *= i
    return 1-p

Implementação no R

birthday <- function(n) {
  return(p <- 1 - choose(365, 365 - n) * factorial(n) / 365 ^ n)
}

Implementação em Javascript

function birthday (n) {
    let p = (1.0 / 365)**n
    for(let i = (366 - n); i < 366; i++) {
        p *= i
    }
    return 1 - p
}

Aproximações

Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots$

Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n²/(2⋅365)).

a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a

${\bar {p}}(n)\approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}$

$=1\cdot e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}$

$=e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}$

Então,

$p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}$

Uma outra aproximação grosso modo é dada por

$p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/{2\cdot 365}},\,$

que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

Aproximação de Poisson

Utilizando a aproximação de Poisson para a binomial,

$\mathrm {Poi} \left({\frac {C(23,2)}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} \left({\frac {253}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} (0.6932)$

$\Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.$

Novamente, ela é maior que 50%.

Ver também

• Problema do colecionador de cupons

Referências

• Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", American Mathematical Monthly 45 (1938), pages 348-352
• M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", Journal of Combinatorial Theory 3 (1967), pages 279-282.
• D. Bloom: "A birthday problem", American Mathematical Monthly 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

Ligações externas

• Um experimento online demonstrando o paradoxo do aniversário do utilizadores
• Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes
• The Birthday Paradox
• http://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html 
• Eric W. Weisstein, Birthday Problem no MathWorld
• Maple vs. paradoxo do aniversário
• Probability by Surprise Birthday Applet An animation for simulating the birthday paradox.
• A humorous article explaining the paradox
• The Birthday Problem Spreadsheet