Princípio da boa ordenação

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book-4.svg
Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo, comprometendo a sua verificabilidade (desde junho de 2017).
Por favor, adicione mais referências inserindo-as no texto. Material sem fontes poderá ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

O Princípio da boa ordenação ou princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento.[1] Isso é o mesmo que dizer que todo subconjunto não vazio formado por números inteiros positivos possui um menor elemento. Este princípio é equivalente ao Princípio da indução.

Em teoria de conjuntos, esta noção é generalizada para a de um conjunto bem-ordenado, um conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto não vazio possui um elemento mínimo.

Na Teoria axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel [sistema denotado como "ZF sem adição de axiomas extras"], a generalização deste princípio acima é equivalente para o Axioma da Escolha, criado em 1904 pelo matemático alemão Ernst Zermelo. Este é considerado um dos axiomas mais importantes da história da Matemática, apesar de suas consequências não-construtivas e controversas (vide o Paradoxo de Banach-Tarski, entre outros).

Exemplo e motivação[editar | editar código-fonte]

Seja um subconjunto não-vazio do conjunto dos números naturais. Então é o elemento mínimo de X quando . Se com , então 0 é o elemento mínimo de X. Isto é óbvio, visto que 0 é o menor elemento de .

Um elemento é o elemento máximo de X quando . Note que não tem um elemento máximo, logo é de se esperar que existam subconjuntos de sem um maior elemento.

Prova[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto X subconjunto dos números naturais, ou seja, . Por esse princípio, existe um determinado número "n" menor ou igual a todos os elementos do conjunto X, ou seja, . Há duas possibilidades para o conjunto X:

  1. O número 1 pertence ao conjunto X, ou seja, . neste caso, 1 será o elemento mínimo do conjunto X.
    • Do contrário, existiria um número "n" pertencente ao conjunto X tal que , ou seja, isso implicaria dizer que existe um número natural "q" tal que sua soma com "n" resultasse em 1: . Entretanto, a soma de dois números naturais é sempre o sucessor de algum número natural, e como 1 não é sucessor de nenhum número, essa tese contrária é um absurdo.
  2. O número 1 não pertence ao conjunto X, ou seja, .
    • já um conjunto B, subconjunto dos números naturais, tal que todos os seus elementos são menores que os elementos de X: . Obviamente, 1 pertence a esse conjunto B. e

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Apostol, Tom (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. 13 páginas. ISBN 0-387-90163-9