Princípio da boa ordenação

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O Princípio da boa ordenação ou princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento[1]. Este princípio é equivalente ao Princípio da indução.

Em teoria de conjuntos, esta noção é generalizada para a de um conjunto bem-ordenado, um conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto não vazio possui um elemento mínimo.

Na Teoria axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel [sistema denotado como "ZF sem adição de axiomas extras"], a generalização deste princípio acima é equivalente para o Axioma da Escolha, criado em 1904 pelo matemático alemão Ernst Zermelo. Este é considerado um dos axiomas mais importantes da história da Matemática, apesar de suas consequências não-construtivas e controversas (vide o Paradoxo de Banach-Tarski, entre outros).

Exemplo e motivação[editar | editar código-fonte]

Seja um subconjunto não-vazio do conjunto dos números naturais. Então é o elemento mínimo de X quando . Se com , então 0 é o elemento mínimo de X. Isto é óbvio, visto que 0 é o menor elemento de .

Um elemento é o elemento máximo de X quando . Note que não tem um elemento máximo, logo é de se esperar que existam subconjuntos de sem um maior elemento.


Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Apostol, Tom (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. p. 13. ISBN 0-387-90163-9