Princípio de Fermat

Dos três feixes de luz que emergem do ponto roxo apenas os que chegarem ao caminho óptico extremo(máximo ou mínimo) serão caminhos reais de luz.

O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo proposto por Pierre de Fermat e estabelece que:

"A trajetória percorrida pela luz ao se propagar de um ponto a outro é tal que o tempo gasto em percorrê-la é um mínimo."

Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz:

"A trajetória percorrida pela luz ao propagar-se de um ponto a outro é tal que o tempo gasto para percorrê-la é estacionário a respeito das possíveis variações de trajetória."

Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos $0_{1}$ e $0_{2}$ por meio de uma função chamada caminho ótico definida como ${\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]$ a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:

$\delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=0.$

A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.

Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.

Equação da trajetória de um raio luminoso

A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:

${\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]=0$

e se deduz a partir do Princípio de Fermat.

Aplicando o princípio de Fermat, toda variação sobre uma trajetória de um raio luminoso real deve ser nula. Portanto;

$\delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{\delta (n({\vec {r}}))ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})\delta (ds)}=$

=$\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot {\frac {d(\delta {\vec {r}})}{ds}}ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot \delta {\vec {r}}\right]_{O_{1}}^{O_{2}}-\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0.$

Quando a variação sobre os extremos não existe resta que:

$\int _{O_{1}}^{O_{2}}{\left[{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left(n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right)\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0\qquad \forall \delta {\vec {r}}$

portanto o integrando deve se anular e resta a equação da trajetória.

A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração $n({\vec {r}})$. Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários ${\hat {u}}_{t}$ e ${\hat {u}}_{n}$:

${\vec {\nabla }}n({\vec {r}})={\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}+n({\vec {r}}){\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\hat {u}}_{t}+{\frac {n({\vec {r}})}{\rho ({\vec {r}})}}{\hat {u}}_{n}$

sendo $\rho$ o raio da circunferência osculatriz no ponto ${\vec {r}}$ à trajetória.

Lei da reflexão

Ver artigo principal: lei de Snell

Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção a uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, que segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.

Lei da refração

Ver artigo principal: lei de Snell

O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas.

Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.

$n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}$

Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:

Seja um meio de propagação com índice de refração $n_{1}\$ e um segundo meio de propagação com índice de refração $n_{2}\$ tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.

Sejam $A=(x_{A},\;y_{A})$ e $B=(x_{B},\;y_{B})$ dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.

Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto $P=(x,\;0)$.

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer ${\overline {AP}}$ e ${\overline {PB}}$.

Sejam $v_{1}$ e $v_{2}$ as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.

$t_{1}={\frac {\overline {AP}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}$; $t_{2}={\frac {\overline {PB}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}$

$t={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}$

Se buscarmos o valor de $x\$ quando $t\$ é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de $x\$ para o qual a função derivada de $t\$ assume valor 0.

${\frac {dt}{dx}}=-{\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}+{\frac {x-x_{B}\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}=0$

${\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}$

${\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\overline {AP}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\overline {PB}}}}$

${\frac {1}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {1}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}$

${\frac {c}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {c}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}$

$n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}$

Outras aplicações

O Princípio também pode ser estendido para o contexto da relatividade geral, em que a trajetória da luz sob a influência de um campo gravitacional no vácuo é dada por uma geodésica nula na variedade lorentziana que modela o espaço-tempo gerado por uma distribuição de massa gravitacional. Nesse caso, a fonte de luz e o receptor são ambos considerados como pontos.

Na cultura popular

No conto "História da Sua Vida" de Ted Chiang, uma representação visual do Princípio de Fermat é apresentada em uma discussão sobre sua dimensão teológica. O livro The Math Instinct de Keith Devlin contém o capítulo "Elvis the Welsh Corgi Who Can Do Calculus" (em tradução livre, "Elvis, o Corgi Galês que Consegue Calcular), em que alguns animais tentam resolver o problema de "menor tempo" em situações reais.