Princípio de Fermat

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Dos três feixes de luz que emergem do ponto roxo apenas os que chegarem ao caminho óptico extremo(máximo ou mínimo) serão caminhos reais de luz.

O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo e estabelece que:

"A trajetória percorrida pela luz ao se propagar de um ponto a outro é tal que o tempo gasto em percorrê-la é um mínimo."

Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz:

"A trajetória percorrida pela luz ao propagar-se de um ponto a outro é tal que o tempo gasto para percorrê-la é estacionário a respeito das possíveis variações de trajetória."

Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos e por meio de uma função chamada caminho ótico definida como a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:

A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.

Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.[1]

Equação da trajetória de um raio luminoso[editar | editar código-fonte]

A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:

e se deduz a partir do Princípio de Fermat.

Aplicando o princípio de Fermat, toda variação sobre uma trajetória de um raio luminoso real deve ser nula. Portanto;

=

Quando a variação sobre os extremos não existe resta que:

portanto o integrando deve se anular e resta a equação da trajetória.[2]

A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração . Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários e :

sendo o raio da circunferência osculatriz no ponto à trajetória.[1]

Lei da reflexão[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: lei de Snell

Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção a uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, que segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.[3]

Lei da refração[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: lei de Snell
O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas.

Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.[4]

Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:

Seja um meio de propagação com índice de refração e um segundo meio de propagação com índice de refração tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.

Sejam e dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.

Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto .

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer e .

Sejam e as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.

;

Se buscarmos o valor de quando é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de para o qual a função derivada de assume valor 0.

[5]

Referências

  1. a b Explicações sobre o princípio de Fermat e suas aplicações podem ser encontradas em "Feynman, Richard. The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1"
  2. Roger Erb: Geometrische Optik mit dem Fermat-Prinzip. In: Physik in der Schule. 30, Nr. 9, 1992, S. 291–295
  3. Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1904 online
  4. Florian Scheck. Theoretische Physik 3. Klassische Feldtheorie. Kapitel 4.4 Geometrische Optik, 4.4.3 Medien mit negativem Brechungsindex. [S.l.: s.n.] ISBN 3540422765 
  5. Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, Optical Physics 4th Edition, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1