Segmento inicial (matemática)

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Conjunto das partes do conjunto . A seção colorida em verde é um segmento inicial

Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se yx, então y pertence à S.


Definição[editar | editar código-fonte]

Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja um conjunto bem ordenado. Um subconjunto é um segmento inicial de se satisfizer a condição

onde, [1]


Outra definição mais usual é:

Seja um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto é um segmento inicial de se satisfizer a condição

onde, [2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado , então
  • Se e são conjuntos bem ordenados, então ou é isomorfo a um segmento inicial de , ou é isomorfo a um segmento inicial de . [3]
  • A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.
Demonstração
Sejam e um conjunto totalmente ordenado.

Para todo , considere um segmento inicial de .

Assim, se , então, então, como é um segmento inicial, , logo, , portanto, é um segmento inicial de

  • A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.
Demonstração
Sejam e um conjunto totalmente ordenado.

Para todo , considere um segmento inicial de .

Assim, se , então, tal que então, como é um segmento inicial, , logo, , portanto, é um segmento inicial de

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas: ou .
  • é um segmento inicial de .
  • Um corte inferior de Dedekind em ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de , não vazio, majorado e sem máximo. [4]

Referências

  1. Ruy J. G. B. de Queiroz, Notas de aula do curso de teoria de conjuntos da Universidade Federal de Pernambuco UFPE.
  2. Karel Hrback e Thomas Jech. Introduction to set theory - third edition. ISBN 0-8247-7915-0. Page 104.
  3. Francisco Miraglia, Teoria de conjuntos: um mínimo., editora EDUSP. São Paulo, 1991.
  4. Fernando Ferreira, notas de aula do curso de Conjuntos e Fundamentos da Universidade de Lisboa, 2011.
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