Soma de três cubos
Existe um número que não seja 4 ou 5 módulo 9 e que não pode ser expresso como uma soma de três cubos?
Na matemática da soma de potências, a soma de três cubos é um problema em aberto para caracterizar os números que podem ser expressos como uma soma de três cubos de inteiros, permitindo tanto cubos negativos quanto positivos na soma. Uma condição necessária óbvia para igualar tal soma é que não pode ser igual a 4 ou 5 módulo 9, porque os cubos módulo 9 são 0, 1 e −1, e nenhum três destes números somar 4 ou 5 módulo 9.[1] Não se sabe se esta condição necessária é suficiente.
Variações do problema incluem somas de cubos não negativos e somas de cubos racionais. Todos os inteiros têm uma representação como uma soma de cubos racionais, mas não se sabe se as somas de cubos não negativos formam um conjunto com densidade assintótica diferente de zero.
Pequenos casos[editar | editar código-fonte]
Uma representação não trivial de 0 como a soma de três cubos daria um contra-exemplo ao último teorema de Fermat para o expoente três. Pois, um dos três cubos teria o sinal oposto aos outros dois e seu negativo seria igual à soma dos outros dois. Portanto, pela prova de Leonhard Euler deste caso do último teorema de Fermat,[2] existe apenas a solução trivial.
Para as representações de 1 e 2 existem infinitas famílias de soluções
e
Estas podem ser escalonadas para obter representações para qualquer cubo ou qualquer número que é o dobro de um cubo.[3][4] Existem outras representações e outras famílias parametrizadas de representações para 1.[5] Para 2, as outras representações conhecidas são[5][6]
No entanto, 1 e 2 são os únicos números com representações que podem ser parametrizados por polinômios quárticos desta forma.[7]
Mesmo no caso de representações de 3, Louis Mordell escreveu em 1953 "eu não sei nada" mais que sua pequena solução
e mais do que o fato de que neste caso cada um dos três números ao cubo deve ser igual módulo 9.[8][9]
Referências
- ↑ Davenport, H. (1939), «On Waring's problem for cubes», Acta Mathematica, 71: 123–143, MR 0000026, doi:10.1007/BF02547752
- ↑ Machis, Yu. Yu. (2007), «On Euler's hypothetical proof», Mathematical Notes, 82 (3): 352–356, MR 2364600, doi:10.1134/S0001434607090088
- ↑ Verebrusov, A. S. (1908), «Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3» [On the equation ], Matematicheskii Sbornik (em russo), 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02
- ↑ Mahler, Kurt (1936), «Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood», Journal of the London Mathematical Society, 11 (2): 136–138, MR 1574761, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136
- ↑ a b Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, arXiv:1802.06776
- ↑ Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993), «On solving the Diophantine equation on a vector computer», Mathematics of Computation, 61 (203): 235–244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, MR 1202610, doi:10.2307/2152950
- ↑ Mordell, L. J. (1942), «On sums of three cubes», Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 17: 139–144, MR 0007761, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139
- ↑ Mordell, L. J. (1953), «On the integer solutions of the equation », Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 28: 500–510, MR 0056619, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500
- ↑ The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), «A note on the Diophantine equation », Mathematics of Computation, 44 (169): 265–266, MR 771049, doi:10.2307/2007811.
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
- Solutions of n = x3 + y3 + z3 for 0 ≤ n ≤ 99, Hisanori Mishima
- threecubes, Daniel Julius Bernstein
- Sums of three cubes, Mathpages
- The Uncracked Problem with 33, Timothy Browning on Numberphile
- 42 is the new 33, Andrew Booker on Numberphile