Somatório

Um somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente somas muito grandes ou até infinitas É representado com a letra grega sigma ( $\Sigma$ ), e é definido por:

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}$

A variável i é o índice do somatório que designa um valor inicial chamado limite inferior, m.

A variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior, n.

Necessariamente tem-se:

$m\leq n$

Por exemplo se queremos expressar a soma dos dez primeiros números naturais podemos representa-lo assim:

$\sum _{i=1}^{10}i$

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrarias de números, por exemplo em fórmulas. Assim, se queremos representar a «fórmula» para achar a média aritmética de n números, teremos a seguinte expressão:

${\overline {X}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$

Alguns somatorios

1. $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$
2. $\sum _{i=0}^{5}(i+1)=1+2+3+4+5+6$
3. $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$
4. $\sum _{i=1}^{n}a=\underbrace {(a+a+a+\ldots +a)} _{n\,vezes}=na$
5. $\sum _{j=0}^{n}a^{j}=1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots +a^{n}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}$
6. $\sum _{k=1}^{n}a^{k}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}\ldots +a^{n}={\frac {a^{n+1}-a}{a-1}}$
7. $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a^{i}}}={\frac {a^{n}-1}{a^{n+1}-a^{n}}}$
8. $\sum _{k=1}^{n}ak=a+2a+3a+\ldots .+na=a\sum _{k=1}^{n}k$
9. $\sum _{i=0}^{n}i=0+\sum _{i=1}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i$
10. $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\neq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}$
11. $\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{j=1}^{m}y_{j}\right)$

Ver também

• Adição

1+3+5+6+9