Teorema da circulação de Kelvin

Na mecânica dos fluidos, o teorema da circulação de Kelvin (em homenagem a William Thomson, 1º Barão Kelvin, que o publicou em 1869) afirma que em um fluido barotrópico ideal com forças de corpo conservativas, a circulação em torno de uma curva fechada é constante com o tempo . Matematicante, isso significa que:

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0$

Onde ${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=0$ é a derivada convectiva,, $\Gamma$ é a circulação em torno de um contorno de material $C(t)$ . Esse teorema diz que se alguém observar um contorno fechado em um instante, e seguir o contorno ao longo do tempo, a circulação em outro instante de tempo permanece a mesma. Além disso, outra conclusão importante é que, valendo o teorema de Kelvin, se um fluido é irrotacional em t=0, segue irrotacional para t>0.

Este teorema não é válido em casos com tensões viscosas, forças não conservativas ou quando não temos um fluido barotrópico.

Prova

  A circulação $\Gamma$ em torno de um contorno de material fechado $C(t)$ é definida por:

$\Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

onde u é o vetor velocidade e ds é um elemento de linha longo do contorno fechado. A equação para um fluido invíscido com uma força conservativa é

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi$

onde ρ é a densidade do fluido, p é a pressão e Φ é o potencial da força conservativa. Essa é a equação de Euler.

A condição de fluido barotrópico implica que a densidade é uma função apenas da pressão, ou seja, $\rho =\rho (p)$ .

Tomando o derivada convectiva da circulação, temos:

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.$

No primeiro termo, podemos aplicar o Teorema de Stokes, de forma que:

$\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {ds}}\ =0.$

Como o fluido é barotrópico, $\rho$ é uma constante. Também usamos o fato de que ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0$ para qualquer função $f$.

Para o segundo termo, temos que:

${\frac {D}{Dt}}\left({\boldsymbol {ds}}\right)=d{\boldsymbol {u}}$

Portanto:

$\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}\right)=\oint _{C}\mathrm {d} \left({\frac {\boldsymbol {u^{2}}}{2}}\right)=0.$

Como ambos os termos são zero, obtemos o resultado:

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.$

Teorema da circulação de Poincaré-Bjerknes

Um resultado semelhante pode ser obtido quando temos um sistema de coordenadas em rotação, conhecido como teorema de Poincaré-Bjerknes, em homenagem a Henri Poincaré e Vilhelm Bjerknes, que derivou o invariante em 1893 e 1898. O teorema pode ser aplicado a um referencial que está em rotação a uma velocidade angular constante dada pelo vetor ${\boldsymbol {\Omega }}$, para a circulação modificada:

$\Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

Onde ${\boldsymbol {r}}$ é a posição da área do fluido. Pelo teorema de Stokes, temos:

$\Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S$

A Vorticidade de um campo de velocidade na dinâmica dos fluidos é definida por:

${\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}$

Então:

$\Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S$

Veja também

• Princípio de Bernoulli
• Equações de Euler (dinâmica de fluidos)
• Teoremas de Helmholtz
• Convecção termomagnética