Derivada material

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Em matemática, a derivada material[1][2] (também chamada de derivada substancial) é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade v, e é frequentemente utilizada em mecânica dos fluidos e mecânica clássica. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo do valor de alguma propriedade (tal como calor ou momento) de matéria/substância que está sendo transportada. Ou seja, de alguma matéria que está sujeita a um campo de velocidade que varia no espaço e no tempo.

Há vários outros nomes ao operador, incluindo:

  • derivada substantiva[3]
  • derivada substancial[1]
  • derivada Lagrangiana[4]
  • derivada de Stokes[3]

Definição[editar | editar código-fonte]

A derivada material de um campo escalar φ( x, t ) e de um campo vetorial u( x, t ) são definidas respectivamente como:

onde a distinção é que é o gradiente de um escalar, enquanto é a derivada tensorial de um vetor. No caso de uma derivada material de um campo vectorial, o termo v•∇u pode tanto ser interpretado como v•(∇u) envolvendo a derivada tensorial de u, ou como as (v•∇)u, levando ao mesmo resultado.[5]

Inconvenientemente, o termo derivada convectiva é utilizada por vezes tanto para se referir a derivada material Dφ/Dt ou Du/Dt, quanto para o termo referente a taxa de variação espacial, v•∇φ ou v•∇u.[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N. (2007). Transport Phenomena Revised Second Edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-11539-8 , p. 83.
  2. a b Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521663962 , p. 72–73.
  3. a b Granger, R.A. (1995). Fluid Mechanics. [S.l.]: Courier Dover Publications. ISBN 0486683567 , p. 30.
  4. Mellor, G.L. (1996). Introduction to Physical Oceanography. [S.l.]: Springer. ISBN 1563962101 , p. 19.
  5. Emanuel, G. (2001). Analytical fluid dynamics Second edition ed. [S.l.]: CRC Press. ISBN 0849391148  pp. 6–7.