Teorema da circulação de Kelvin
Na mecânica dos fluidos, o teorema da circulação de Kelvin (em homenagem a William Thomson, 1º Barão Kelvin, que o publicou em 1869) afirma que em um fluido barotrópico ideal com forças de corpo conservativas, a circulação em torno de uma curva fechada é constante com o tempo . [1] [2] Matematicante, isso significa que:
Onde é a derivada convectiva,, é a circulação em torno de um contorno de material . Esse teorema diz que se alguém observar um contorno fechado em um instante, e seguir o contorno ao longo do tempo, a circulação em outro instante de tempo permanece a mesma. Além disso, outra conclusão importante é que, valendo o teorema de Kelvin, se um fluido é irrotacional em t=0, segue irrotacional para t>0.
Este teorema não é válido em casos com tensões viscosas, forças não conservativas ou quando não temos um fluido barotrópico.
Prova
[editar | editar código-fonte]A circulação em torno de um contorno de material fechado é definida por:
onde u é o vetor velocidade e ds é um elemento de linha longo do contorno fechado. A equação para um fluido invíscido com uma força conservativa é
onde ρ é a densidade do fluido, p é a pressão e Φ é o potencial da força conservativa. Essa é a equação de Euler.
A condição de fluido barotrópico implica que a densidade é uma função apenas da pressão, ou seja, .
Tomando o derivada convectiva da circulação, temos:
No primeiro termo, podemos aplicar o Teorema de Stokes, de forma que:
Como o fluido é barotrópico, é uma constante. Também usamos o fato de que para qualquer função .
Para o segundo termo, temos que:
Portanto:
Como ambos os termos são zero, obtemos o resultado:
Teorema da circulação de Poincaré-Bjerknes
[editar | editar código-fonte]Um resultado semelhante pode ser obtido quando temos um sistema de coordenadas em rotação, conhecido como teorema de Poincaré-Bjerknes, em homenagem a Henri Poincaré e Vilhelm Bjerknes, que derivou o invariante em 1893 [3] [4] e 1898. [5] [6] O teorema pode ser aplicado a um referencial que está em rotação a uma velocidade angular constante dada pelo vetor , para a circulação modificada:
Onde é a posição da área do fluido. Pelo teorema de Stokes, temos:
A Vorticidade de um campo de velocidade na dinâmica dos fluidos é definida por:
Então:
Veja também
[editar | editar código-fonte]- Princípio de Bernoulli
- Equações de Euler (dinâmica de fluidos)
- Teoremas de Helmholtz
- Convecção termomagnética
- ↑ Katz, Plotkin: Low-Speed Aerodynamics
- ↑ Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002
- ↑ Poincaré, H. (1893). Théorie des tourbillons: Leçons professées pendant le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Gauthier-Villars. Article 158
- ↑ Truesdell, C. (2018). The kinematics of vorticity. Courier Dover Publications.
- ↑ Bjerknes, V., Rubenson, R., & Lindstedt, A. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Kungl. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
- ↑ Chandrasekhar, S. (2013). Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Courier Corporation.