Teorema de Dini

O Teorema de Dini, nomeado assim em homenagem ao ilustre matemático italiano do século XIX, Ulisse Dini, é um importantíssimo resultado de Análise real que caracteriza a convergência de sequências de funções dentro de um compacto de $\mathbb {R}$, i.e., um fechado e limitado.

Enunciado : Seja $X\subset \mathbb {R}$ compacto (fechado e limitado). Se uma sequência de funções contínuas $f_{n}:X\rightarrow \mathbb {R}$ converge monotonicamente para uma função contínua $f:X\rightarrow \mathbb {R}$, então a convergência é uniforme.

Demonstração: Dado $\varepsilon >0$, considere, para cada $n\in \mathbb {N}$, o seguinte conjunto:

$K_{n}=\{x\in X/\vert f_{n}(x)-f(x)\vert \geq \varepsilon \}$

Como $f_{n}$ e $f$ são contínuas e $X$ é fechado, pois é compacto, segue-se que para cada $n$, $K_{n}$ é um subconjunto fechado de $X$, pois pode ser visto , para cada $n\in \mathbb {N}$ como imagem inversa da função $g:X\rightarrow \mathbb {R}$ abaixo definida:

$g_{n}(x)=\vert f(x)-f_{n}(x)\vert$

Observe que $g_{n}:X\rightarrow \mathbb {R}$ é contínua para cada $n$, pois é a composição da função módulo e da diferença das funções $f$ e $f_{n}$ para cada $n\in \mathbb {N}$.

Observe também que o conjunto $[\varepsilon ,\infty )$ é fechado de $\mathbb {R}$, pois seu complementar, $(-\infty ,\varepsilon )$ é aberto.

Logo,

$K_{n}=g^{-1}([\varepsilon ,\infty ))$

Logo, $K_{n}$ é fechado, e por ser subconjunto de um compacto, é compacto para cada $n\in \mathbb {N}$

Como a sequência $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é monótona (não-decrescente) , teremos que $K_{1}\supset K_{2}\supset \cdots \supset K_{n}\supset \cdots$, pois de outro modo a sequência $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ não convergiria monotonicamente para $f$. Mas, observe que:

$\bigcap {K_{n}}=\varnothing$

pois suponha, ab absurdo que $x\in K_{n}$ para todo $n\in \mathbb {N}$.

Ora, isto implicaria $\vert f_{n}(x)-f(x)\vert \geq \varepsilon ,(\forall x)$

para todo n, o que implicaria na não-convergência da sequência, Q.E.A..

Sendo:

$\bigcap {K_{n}}=\varnothing$

concluímos que existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $K_{n_{0}}=\varnothing$.

Suponha que não ocorresse isto. Então ocorreria que, $\forall n\in \mathbb {N} ,K_{n}\neq \varnothing$. Então poderíamos construir uma sequência que não admitiria subsequência convergente, o que seria absurdo pois os $K_{n}$'s são sequencialmente compactos. Logo, $n>n_{0}\Rightarrow J_{n}=\varnothing$, ou seja, $n>n_{0}\Rightarrow \vert f_{n}(x)-f(x)\vert <\varepsilon$ para todo $x\in X$.

Logo, a convergência é uniforme.

Q.E.D.