Teorema de Landau–Yang

Em mecânica quântica, o teorema de Landau–Yang, é uma regra de seleção para partículas que decaem em dois fótons.

Teorema

Resultado principal

Uma partícula massiva de spin 1 não pode decair para dois fótons.

Hipóteses

Fótons aqui representam qualquer partícula de spin 1, sem massa e sem graus de liberdade internos. Contudo, o fóton é a única partícula que se conhece com essas propriedades.

Consequências

O teorema tem várias consequências em física de partículas, por exemplo

• O méson ρ não decai para dois fótons, diferente do píon neutro, que quase sempre decai nesse estado final (98,8% das vezes).
• O bóson Z não decai para dois fótons. O termo clássico não existe na lagrangeana devido à invariância de gauge, mas o teorema garante que a matriz S do decaimento é zero mesmo considerando loops quânticos.
• O bóson de Higgs, cujo spin nunca fora medido, mas cujo decaimento para dois fótons foi observado recentemente, não pode ter spin 1.

Demonstração

Considere o referencial em que a partícula instável está parada e que os fótons decaem na direção $z$. Nessa configuração, o momento angular orbital dos produtos de decaimento terá sempre projeção do momento angular orbital $m_{\ell }=0$. Esse resultado é imediato já que $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$ e o momento dos fótons está na direção $z$.

A projeção do momento angular de spin do sistema de dois fótons tem dois valores possíveis. Ela pode ser $m_{s}=\pm 2$ (em unidades de $\hbar$, o que será sempre assumido daqui para frente) ou $m_{s}=0$. Como a parte orbital não pode contribuir com momento angular nessa direção, é impossível usar as combinações com $m_{s}=\pm 2$ para formar um estado inicial com $J=1$. As combinações com projeção zero são convenientemente escolhidas como simétricas ou anti-simétricas por troca de partículas:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|+1,-1\rangle -|-1,+1\rangle \right]$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|+1,-1\rangle +|-1,+1\rangle \right]$

O estado anti-simétrico por troca dos dois fótons idênticos exige, pelo teorema de spin-estatística, que a função de onda orbital seja também anti-simétrica e, logo, com momento angular ímpar. Como a helicidade apenas diz como o sistema se transforma por rotações em torno do eixo $z$, não é possível identificar o estado final com um único spin. Contudo, devido ao comportamento por rotações em torno do eixo $z$ e por ser anti-simétrico por troca de partículas, sabe-se que o estado é exclusivamente decomposto naqueles com $S$ ímpar e $m_{s}=0$.

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|+1,-1\rangle -|-1,+1\rangle \right]=\sum _{S=1,3,\ldots }\alpha _{s}|S,m_{s}=0\rangle$

Para formar um estado inicial com $J=1$, precisa-se então combinar cada estado acima com o momento angular orbital tal que $L=S$. Contudo, é impossível esse usar esses estados já que o coeficiente de Clebsch–Gordan para:

$\langle J\,M|j_{1}\,m_{1};j_{2}\,m_{2}\rangle =\langle 1\,0|S\,0;S\,0\rangle =0$

é nulo para qualquer $S$ e eles não contribuem para um estado com $J=1$. Na verdade, esse resultado é válido para qualquer $J$ ímpar e pode-se tornar o teorema um pouco mais forte: o decaimento para dois fótons de uma partícula com spin ímpar e com auto-valor $-1$ por paridade, através de uma interação que preserve paridade, é sempre impossível.

A igualdade acima pode ser imediatamente verificada usando a propriedade de simetria dos coeficientes de Clebsch–Gordan:

$\langle J\,M|j_{1}\,m_{1};j_{2}\,m_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle J\,(-M)|j_{1}\,(-m_{1});j_{2}\,(-m_{2})\rangle$

O estado simétrico também não identificável com uma única representação massiva. Contudo, devido ao seu comportamento por troca de partículas e por rotações em torno do eixo $z$, ele só pode ser decomposto em representações com $S$ par e $m_{s}=0$ o que, pelo teorema de spin-estatística, implica que o momento angular orbital tem que ser par, limitando-o então ao caso $L=S$. Igual ao caso acima, isso implica que o coeficiente de Clebsch–Gordan é zero. Entretanto, diferente do caso acima, para spins maiores 2, pode-se usar as componentes com projeção $\pm 2$ e não há uma regra de seleção adicional em decaimentos que preservem paridade.

Para campos com graus de liberdade internos, como glúons, pode-se ter, por exemplo, $S=0$, $L=1$ e a função de onda de cor também anti-simétrica (por exemplo, nas representações $\mathbf {8} ,\mathbf {10} ,{\overline {\mathbf {10} }}$), contornando a demonstração do teorema. No decaimento para campos massivos, a projeção com $m_{s}=\pm 1$, para a qual o coeficiente de Clebsch–Gordan não é nulo, é possível e novamente se contorna a demonstração do teorema.

Demonstração alternativa

Uma demonstração alternativa, que não faz tanto uso direto da álgebra de momento angular na mecânica quântica, é dada pela construção explícita da amplitude invariante. No gauge de Coulomb, a amplitude invariante deve ser um escalar rotacional construído com os vetores $\mathbf {k} =\mathbf {k} _{1}=-\mathbf {k} _{2},\mathbf {s} ,\mathbf {\epsilon } _{1},\mathbf {\epsilon } _{2}$ (momento dos fótons, vetor de spin da partícula instável e polarizações dos fótons). Tanto os vetores de spin quanto as polarizações são normalizados $s^{2}=\epsilon _{(1,2)}^{2}=1$ e, pela condição de gauge, $\mathbf {k} \cdot \mathbf {\epsilon } _{(1,2)}=0$. Além disso, amplitude deve ser linear em cada um dos $\mathbf {s} ,\mathbf {\epsilon } _{1},\mathbf {\epsilon } _{2}$. Só há três combinações que satisfazem essas condições:

${\mathcal {M}}=H_{1}(k^{2})(\mathbf {k} \cdot \mathbf {s} )(\mathbf {\epsilon } _{1}\cdot \mathbf {\epsilon } _{2})+H_{2}(k^{2})[\mathbf {s} \cdot (\mathbf {\epsilon } _{1}\times \mathbf {\epsilon } _{2})]+H_{3}(k^{2})[\mathbf {k} \cdot (\mathbf {\epsilon } _{1}\times \mathbf {\epsilon } _{2})](\mathbf {k} \cdot \mathbf {s} )$

Onde o primeiro termo é par por paridade e os dois últimos ímpares. Contudo, os três termos acima são anti-simétricos por troca $\epsilon _{1}\leftrightarrow \epsilon _{2}$ e $\mathbf {k} \rightarrow -\mathbf {k}$, violando o teorema de spin-estatística. No caso em que momento angular é conservado, mas a estatística de Bose não é obedecida, os três termos acima são possíveis e usados em procura por violações dessa estatística.

Resumo dos resultados

O resultado do teorema e consequências adicionais podem ser resumidos na seguinte tabela que lista os possíveis valores da soma das helicidades dos fótons (em unidades de $\hbar$) para cada valor J do spin da partícula instável massiva que decai e sua paridade.

Soma das helicidades dos fótons

	J=0	J=1	J=2,4,6,...	J=3,5,7,...
Paridade par	0	proibido	0,±2	±2
Paridade ímpar	0	proibido	0	proibido

Recursos adicionais

Existem ferramentas on-line para fazer as decomposições simétricas e anti-simétricas de produtos tensoriais de representações álgebras de Lie em representações irredutíveis. Essas ferramentas podem ser usadas para verificar os diversos resultados algébricos mencionados nesse artigo.

• Baseado no software LiE, http://wwwmathlabo.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/form.html
• Para o cálculo de coeficientes de Clebsch–Gordan, http://www.ph.surrey.ac.uk/~phs3ps/cgjava.html