Teorema de Ptolomeu

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O Teorema de Ptolomeu refere-se a qualquer quadrilátero inscritível por uma circunferência, e pode ser enunciado da seguinte forma:

"O produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos". Isto é, sendo m e n suas diagonais, a,b,c e d seus lados, vale que: . Este teorema pode ser demonstrado da seguinte maneira:

Ilustração do teorema
Construção do teorema.

Seja, como na figura ao lado, um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de centro O. Vamos provar que , isto é, provar que o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos. Para isso, a partir do vértice A traçamos uma semirreta que intersecciona a semirreta num ponto P tal que. Dado que o quadrilátero ABCD é inscritível, podemos dizer que seus ângulos opotos são suplementares ( ver [1]). Assim, é verdade que é suplementar a . Da mesma maneira, temos que é suplementar a , o que segue daí que são iguais: . Assim, observe então que os triângulos BAC e DAP têm dois ângulos congruentes e podemos concluir que estes são semelhantes entre si pelo caso ângulo-ângulo (ver [2]). Disto é válido dizer que , que é o mesmo que . Como construímos que , segue que e, da semelhança de triângulos que acabamos de mostrar, que . Então, pelo caso lado-ângulo-lado de semelhança de triângulos (ver [3]), dizemos que os triângulos ABD e ACP são semelhantes. Por conseguinte, também podemos inferir disso que , que é o mesmo que . Mas perceba pela figura ao lado que . Substituindo tudo que já encontramos nessa expressão, teremos que . Resolvendo a expressão, podemos concluir então que, como queríamos.

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