Transformada Z

A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, se aplica para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais.

O cálculo da transformada

A Transformada Z é calculada pela expressão:

$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}z^{-n}$.

Onde $z^{-n}$ é uma função complexa definida na forma polar por $z=re^{jw}$. Para r = 1 temos que a transformada Z fica idêntica a transformada de Fourier.

Região de Convergência

Para calcular a transformada Z além de usarmos a expressão acima para acharmos o valor da transformada, temos que definir sua RDC (Região de convergência), que são valores em que a transformada é válida, ou seja, a variável complexa Z tem convergência. Uma soma só é convergente se ao final dela aparecer um valor diferente de infinito, e para isso acontecer na transformada z, o |Expressão em Z| < 1.esse é seu sonho de virar um belo...matematico..brunna assinou isto aqui

Exemplo

Seja a sequência :$x[n]=a{^{n}}u[n]$ com a real, calcular a transformada Z. Aplicando a definição: $X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}u[n]z^{-n}$ = $\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}$$=\sum _{n=0}^{\infty }(az^{-1})^{n}$

Pela definição de Série geométrica dado por :$S_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }1q^{n-1}={\frac {1}{1-q}}$

e $~~|az^{-1}|<1=$ $~~|{\frac {1}{z}}|<1$$=~~|z|>1$, ou seja os valores nos quais a transformada converge são os valores de z maior do que 1.