Transformada Z

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A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais. Além disso a transformada \mathbb{Z} define como construir uma função a partir de uma sucessão. Assim, cada sucessão é transformada numa função; isso permitirá transformar equações diferenciais em equações algébricas que em alguns casos podem ser resolvidas facilmente, como veremos. [1]

Propriedades da transformada Z[editar | editar código-fonte]

Usando os dois exemplos da seção anterior e algumas propriedades da transformada Z, podemos calcular as transformadas de outras sucessões mais complicadas.[1]

A transformada Z de uma sucessão \{y_0,y_1,y_2,\ldots\} é uma função definida por meio da série:


  y_0 + \frac{y_1}{z} + \frac{y_2}{z^2} + \frac{y_3}{z^3} + \ldots

onde z é uma variável real; O domínio da variável z pode ser estendido aos números complexos, mas para os objetivos deste capítulo não será preciso.

O domínio da variável z onde a série é convergente dependerá da sucessão. Usando uma notação mais compacta, escrevemos a transformada da sucessão \{y_n\} da seguinte forma


  \color{Red}{\mathbb{Z}\big\{y_n\big\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{y_n}{z^n}}

e ainda usaremos uma outra notação: \bar{y}, que representa a função obtida após transformar a sucessão \{y_n\}.[1]

Consideremos um exemplo: a sucessão \{1,1,1,\ldots\} com todos os termos iguais a 1, isto é, y_n = 1.[1] Usando a definição da transformada \mathbb{Z} obtemos


  \bar{y}(z) = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^2} + \ldots
  = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{z}\right)^n

que é uma série geométrica; se |1/z| <1, a série converge para


  \bar{y}(z) = \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}

Outra transformada \mathbb{Z} que pode ser calculada usando a série geométrica é a transformada da sucessão com termo geral y_n = a^n, onde a é uma constante. Usando a definição da transformada obtemos uma série geométrica


  \bar{y}(z) = 1 + \frac{a}{z} + \frac{a^2}{z^2} + \ldots
  = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n

Assim, para |z| > |a|


  \color{Blue}{\mathbb{Z}\big\{a^n\big\} = \frac{z}{z - a}}

Linearidade da transformada Z[editar | editar código-fonte]

A primeira propriedade da transformada Z que estudaremos é a sua linearidade, isto é, dadas duas sucessões quaisquer \{x_n\} e \{y_n\}, e duas constantes a e b, verifica-se que


\mathbb{Z}\big\{ax_n + by_n \big\} = a \mathbb{Z}\Big\{x_n\Big\} + b \mathbb{Z}\Big\{y_n\Big\} = a \bar{x} + b \bar{y}

Esta propriedade pode ser demonstrada facilmente a partir da definição da transformada Z, já que as séries convergentes também verificam a propriedade de linearidade.[1]

Derivada da transformada Z[editar | editar código-fonte]

No domínio onde a transformada Z está definida, a série que a representa a (Equação) converge uniformemente, e pode ser derivada termo por termo


  {d\bar{y} \over dz} = - \sum_{n=0}^\infty \frac{n\,y_n}{z^{n+1}}
  = -\frac{1}{z }\sum_{n=0}^\infty \frac{n\,y_n}{z^n}

esta última série é a transformada Z da sucessão n\,y_n; assim, temos obtido o seguinte resultado


  \mathbb{Z}\big\{n\,y_n\big\} = -z {d\bar{y} \over dz}

Se conhecermos a transformada de y_n, poderemos calcular a transformada de n\,y_n a partir da derivada da transformada conhecida.

Transformada da sucessão deslocada[editar | editar código-fonte]

A sucessão \{y_{n+1}\} é a sucessão obtida a partir de \{y_n\}, eliminando o primeiro termo e deslocando todos os outros termos um lugar para a esquerda: \{y_1,y_2,y_3,\ldots\}.[1] A transformada Z desta nova sucessão será


  \mathbb{Z}\big\{y_n+1\big\} = y_1 + \frac{y_2}{z} + \frac{y_3}{z^2} + \ldots
  = \sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{z^{n-1}} = z \sum_{n=0}^\infty
  \frac{y_n}{z^n} - z y_0

A última série é a transformada Z da sucessão \{y_n\}


  \mathbb{Z}\big\{y_n+1\big\} = z \bar{y} - y_0 z

De maneira similar:


  \mathbb{Z}\big\{y_n-1\big\} = z^{-1} \bar{y} + y_{-1} z

Transformadas das sucessões de senos e co-senos[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma sucessão com termos complexos


  y_n = (a + \mathrm{i} b)^n

onde a e b são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é também válido para números reais já que a série geométrica também converge no plano complexo, obtemos


  \mathbb{Z}\big\{(a + \mathrm{i} b)^n\big\} = \frac{z}{z - a - \mathrm{i} b}

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, podemos separar as partes real e imaginária


  \mathbb{Z}\big\{(a + \mathrm{i} b)^n\big\} = \frac{z(z - a)}{(z - a)^2 + b^2}
  + \mathrm{i} \frac{bz}{(z - a)^2 + b^2}

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo a + \mathrm{i}
b e a linearidade da transformada Z, podemos escrever


  \mathbb{Z}\big\{(a + \mathrm{i} b)^n\big\} = \mathbb{Z}\Big\{r^n e^{\mathrm{i} n\theta}\Big\}
= \mathbb{Z}\Big\{r^n \cos(n\theta)\Big\} + \mathrm{i} \mathbb{Z}\Big\{r^n \sin(n\theta)\Big\}

onde r e \theta são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos


\begin{align}
  & \mathbb{Z} {r^n \sin(n\theta)} = \frac{bz}{(z - a)^2 + b^2}\\
  & \mathbb{Z} {r^n \cos(n\theta)} = \frac{z(z - a)}{(z - a)^2 + b^2}
\end{align}

onde as constantes a e b são definidas por


\begin{align}
  &a \equiv  r \cos\theta \\
  &b \equiv  r\sin\theta
\end{align}

Multiplicação por exponencial[editar | editar código-fonte]

A multiplicação da sequência  y_n por uma sequência exponencial da forma  x_n = a^n corresponde a uma dilatação no domínio de  z :


  \mathbb{Z} \{ a^n \; y_n \} = \bar{y} \left( \frac{z}{a} \right)

Derivação em z[editar | editar código-fonte]

A multiplicação da sequência  y_n por uma sequência linear da forma  x_n = n corresponde a uma derivação no domínio de  z :


  \mathbb{Z} \{ n \; y_n \} = -z \bar{y}' \left( z \right)

Valor inicial[editar | editar código-fonte]

O valor inicial da sequência  y_n pode ser obtido pela fórmula:


  y_0 = \lim_{z \to \infty} \bar{y} \left( z \right)

Valor final[editar | editar código-fonte]

O valor final da sequência  y_n pode ser obtido pela fórmula:


  \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{z \to 1} \; (z - 1) \bar{y} \left( z \right)
,

se esse limite existir.

Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas[editar | editar código-fonte]

A transformada Z é útil para resolver equações de diferenças lineares, de coeficientes constantes, não homogêneas.[1] Consideremos um exemplo com valores iniciais:


  y_{n+2} + 3 y_{n+1} + 2 y_n = 3^n \qquad y_0 = 1 \qquad y_1 = 0

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de \{y_{n+1}\}, podemos escrever


\begin{align}
  &\mathbb{Z}\big\{y_{n+1}\big\}  =  z \bar{y} - z \\
  &\mathbb{Z}\big\{y_{n+2}\big\} =  z \mathbb{Z}\Big\{y_{n+1}\Big\} - z y_1 = z^2 \bar{y} - z^2
\end{align}

vemos que


  \mathbb{Z}\big\{3^n\big\} = \frac{z}{z - 3}

Assim, a transformada da equação de diferenças será


  (z^2 + 3z + 2) \bar{y} - z^2 - 3 z = \frac{z}{z - 3}

e daí obtemos


  \color{Blue}{\bar{y} = \frac{z^2 + 3 z}{(z + 1)(z + 2)}
  + \frac{z}{(z + 1)(z + 2)(z - 3)}}

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator z no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.[1]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:


\begin{align}
  &\frac{z + 3}{(z + 1)(z + 2)} = \frac{2}{z + 1} - \frac{1}{z + 2}\\
  &\frac{1}{(z + 1)(z + 2)(z - 3)} = \frac{1}{5(z + 2)} - \frac{1}{4(z + 1)}
  + \frac{1}{20(z - 3)}
\end{align}

multiplicando cada fração parcial pelo fator z que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)


  \bar{y} = \frac{7z}{4(z + 1)} - \frac{4z}{5(z + 2)}
  + \frac{z}{20(z - 3)}

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais


  y_n = \frac{7}{4}(-1)^n - \frac{4}{5}(-2)^n + \frac{3^n}{20} \qquad


Tabela de Transformadas Z selecionadas[editar | editar código-fonte]

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável[2] . Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função f[n] = \mathcal{Z}^{-1} \left\{ F(z) \right\} F(z) = \mathcal{Z}\left\{ f[n] \right\}
impulso unitário  \delta[n]  1
impulso atrasado  \delta(n - m)  z^{-m}
degrau unitário  u[n]  { z \over z - 1 }
rampa  n \cdot u[n]  { z \over (z - 1)^2 }


rampa quadrática  n^2 \cdot u[n]  \frac{z (z + 1)}{z - 1)^3}


rampa cúbica  n^3 \cdot u[n]  \frac{z (z^2 + 4+ 1)}{z - 1)^4}


exponencial  a^{n} \cdot u[n]  \frac{z}{z - a}


exponencial atrasada  a^{n - 1} \cdot u[n - 1]    \frac{1}{z - a}


rampa exponencial  n \cdot a^{n} \cdot u[n]  \frac{a z}{(z - a)^2}


rampa quadrática exponencial  n^2 \cdot a^{n} \cdot u[n]  \frac{a z (z + a)}{(z - a)^3}


rampa quadrática exponencial  \frac{n(n - 1)(n - 2)...(n - q  = 1)}{a^q \cdot q!} \cdot a^n \cdot u[n]  \frac{z}{(z - a)^{q + 1}}


Seno exponencial  b^n \cdot \sin(\omega n) \cdot u[n]  \frac{z b \sin(\omega)}{z^2 - 2 b \cos(\omega) z + b^2}
Cosseno exponencial (I)  b^n \cdot \cos(\omega n) \cdot u[n]  \frac{z [ z - b \cos(\omega)]}{z^2 - 2 b \cos(\omega) z + b^2}
Cosseno exponencial (II)  b^n \cdot \cos(\omega n + \theta) \cdot u[n]  \frac{z [ z \cos(\theta) - b \cos(\omega - \theta)]}{z^2 - 2 b \cos(\omega) z + b^2}


Cosseno exponencial (III)  b^n \cdot \cos(\omega n + \theta) \cdot u[n]  \frac{e^{j \theta} z}{2(z - b)} - \frac{e^{-j \theta} z}{2(z - b^*)}


Cosseno exponencial (IV)  C b^n \cdot \cos(\omega n + \theta) \cdot u[n]  \frac{z (Az + B)}{z^2 + 2az + b^2}

 C = \sqrt{ \frac{A^2 b^2 - 2 A a B + B^2}{b^2 - a^2} }

 \omega = \cos^{-1} \left( - \frac{a}{b} \right)

 \theta = \tan^{-1} \left( \frac{Aa - B}{A \sqrt{b^2 - a^2} } \right)
Nota explicatória:

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f g h [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
  2. P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. (Carmichael: Berkeley-Cambridge Press). p. 674. ISBN 0-941413-35-7. 
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