Transformada Z

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A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais. Além disso a transformada define como construir uma função a partir de uma série. Assim, cada série é transformada numa função; isso permitirá transformar equações diferenciais em equações algébricas que em alguns casos podem ser resolvidas facilmente.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja definida para t ≥ 0. A Transformada-Z da série é dada por:

Transformada Inversa[editar | editar código-fonte]

Região de convergência da tranformada Z

Região de convergência[editar | editar código-fonte]

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.

A série converge para valores de em módulo, maiores que o raio de convergência :

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano que se encontram fora do círculo de raio , centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).

Propriedades da Transformada Z[editar | editar código-fonte]

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas:

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

Linearidade[editar | editar código-fonte]

Teorema do valor inicial[editar | editar código-fonte]

Teorema do valor final[editar | editar código-fonte]

Deslocamento temporal[editar | editar código-fonte]

Atraso:[editar | editar código-fonte]

Se é um sinal discreto definido apenas para , ou seja , e com Transformada z dada por , uma translação de é dita como uma translação para direita:

Definindo

Avanço:[editar | editar código-fonte]

No caso de uma translação de ,é dita como uma translação para esquerda.

 

Mudança de Escala[editar | editar código-fonte]

Derivada da Transformada Z[editar | editar código-fonte]

Transformadas das sucessões de senos e co-senos[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma sucessão com termos complexos

onde e são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é também válido para números reais já que a série geométrica também converge no plano complexo, obtemos

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, podemos separar as partes real e imaginária

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo e a linearidade da transformada Z, podemos escrever

onde e são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos

onde as constantes e são definidas por

Multiplicação por exponencial[editar | editar código-fonte]

A multiplicação da sequência por uma sequência exponencial da forma corresponde a uma dilatação no domínio de :

Reversão temporal[editar | editar código-fonte]

Convolução em Tempo Discreto[editar | editar código-fonte]

Transformada da Derivada[editar | editar código-fonte]

Significado Físico de Z[editar | editar código-fonte]

Seja

Função de Transferência

Assim, a função transferência significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado

Relação com a Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.

Seja um sinal, amostrado da forma:

onde é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace do sinal é:

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável [1] .

Aplicações da Transformada Z[editar | editar código-fonte]

Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas[editar | editar código-fonte]

A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) é empregada para resolução de equações de diferenças com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de , podemos escrever

vemos que

Assim, a transformada da equação de diferenças será

e daí obtemos

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.[2]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:

multiplicando cada fração parcial pelo fator que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais

Circuito elétrico[editar | editar código-fonte]

Circuito escada simétrico de (k+1) malhas

Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.

Sendo todas as resistências iguais, , onde represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e , a intensidade de corrente que passa nessa resistência.

Analisando a primeira malha, tem-se que:

, ou ainda,

Primeira malha do circuito

Da segunda malha segue:

, ou seja

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer para obter , pois

k_ésima malha do circuito

Tem-se ainda, uma série: , que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de para qualquer elemento do circuito.

Aplicando a Transformada , obtém-se:

ou seja,

Assim,

Consequentemente,

Aplicando a Transformada inversa

Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

Tabela de Transformadas Z selecionadas[editar | editar código-fonte]

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável[3] . Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função
impulso unitário
impulso atrasado
degrau unitário
rampa


rampa quadrática


rampa cúbica


exponencial


exponencial atrasada


rampa exponencial


rampa quadrática exponencial


rampa quadrática exponencial


Seno exponencial
Cosseno exponencial (I)
Cosseno exponencial (II)


Cosseno exponencial (III)


Cosseno exponencial (IV)





Nota explicatória:

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. John Wiley & Sons. [S.l.] 
  2. [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
  3. P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. (Carmichael: Berkeley-Cambridge Press). p. 674. ISBN 0-941413-35-7. 
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