Transformada Z

A Transformada Z é de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital.

A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais.

Matematicamente, a transformada $\mathbb {Z}$ bilateral é uma série de potências inteiras da variável complexa z, que, muitas vezes, pode ser escrita de maneira compacta como uma função fechada na variável complexa z.

Este último fato e as propriedades da transformada Z, permitem transformar equações de diferenças em equações algébricas que, em alguns casos, podem ser resolvidas facilmente.

Definição (transformada z bilateral)

Seja $x[n]$ definida para $n\in {\bf {Z}}$. A Transformada Z bilateral da função $x[n]$ é dada por:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\cdots +\ x[-2]z^{2}\ +\ x[-1]z\ +\ x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots$

Transformada Inversa

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$ onde $C$ é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.

Região de convergência da tranformada Z

Região de convergência

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.

$RDC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

No caso em que $x[n]=0$, para $n<0$, a série converge para valores de $z$ em módulo, maiores que o raio de convergência $R$:

${\left\vert z\right\vert }>$$\limsup _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert x[n]\right\vert }}=$$R$

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano $z$ que se encontram fora do círculo de raio $R$, centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).

Propriedades da Transformada Z bilateral

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:

${\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}\{g[n]\}=G(z)\\&{\mathcal {Z}}\{h[n]\}=H(z)\\\end{aligned}}$

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

Linearidade

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha g[n]+\beta h[n]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\big (}\alpha g[n]+\beta h[n]{\big )}z^{-n}\\&=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }g[n]z^{-n}+\beta \sum _{n=0}^{\infty }h[n]z^{-n}\\&=\alpha {\mathcal {Z}}\{g[n]\}+\beta {\mathcal {Z}}\{h[n]\}\\&=\alpha G(z)+\beta H(z)\end{aligned}}$

Teorema do valor inicial

$g[0]=\lim _{z\to \infty }G(z)$

Teorema do valor final

$\lim _{n\to \infty }g[n]=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)$

Deslocamento temporal

Atraso

Se $g[n]$ é um sinal discreto, então

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n-n_{0}]\}&=z^{-n_{0}}G(z),n_{0}\geq 0\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n-n_{0}]z^{-n}\end{aligned}}$

Definindo $m=n-n_{0}$

$=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]z^{-m}z^{-n_{0}}=z^{-n_{0}}G(z)$

Mudança de Escala

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha ^{n}g[n]\}&=G\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\\\end{aligned}}$

Derivada da Transformada Z

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{ng[n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n](-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dG(z)}{dz}}\end{aligned}}$

Transformadas das sucessões de senos e co-senos

Consideremos uma função discreta

$y[n]=(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]$

onde $a$ e $b$ são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é também válido para números reais já que a série geométrica também converge no plano complexo, obtemos

$\mathbb {Z} {\big \{}(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]{\big \}}={\frac {z}{z-a-\mathrm {i} b}}$

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, podemos separar as partes real e imaginária

$\mathbb {Z} {\big \{}(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]{\big \}}={\frac {z(z-a)}{(z-a)^{2}+b^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {bz}{(z-a)^{2}+b^{2}}}$

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo $a+\mathrm {i} b$ e a linearidade da transformada Z, podemos escrever

$\mathbb {Z} {\big \{}(a+\mathrm {i} b)^{n}u[n]{\big \}}=\mathbb {Z} {\Big \{}r^{n}e^{\mathrm {i} n\theta }u[n]{\Big \}}=\mathbb {Z} {\Big \{}r^{n}\cos(n\theta )u[n]{\Big \}}+\mathrm {i} \mathbb {Z} {\Big \{}r^{n}\sin(n\theta )u[n]{\Big \}}$

onde $r$ e $\theta$ são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos

${\begin{aligned}&\mathbb {Z} \{r^{n}\sin(n\theta )u[n]\}={\frac {bz}{(z-a)^{2}+b^{2}}}\\&\mathbb {Z} \{r^{n}\cos(n\theta )u[n]\}={\frac {z(z-a)}{(z-a)^{2}+b^{2}}}\end{aligned}}$

onde as constantes $a$ e $b$ são definidas por

${\begin{aligned}&a\equiv r\cos \theta \\&b\equiv r\sin \theta \end{aligned}}$

Multiplicação por exponencial

A multiplicação da sequência $y[n]$ por uma sequência exponencial da forma $x[n]=a^{n}$ corresponde a uma dilatação no domínio de $z$:

$\mathbb {Z} \{a^{n}\;h[n]\}=H\left({\frac {z}{a}}\right)$

Reversão temporal

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{h[-n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=H(z^{-1})\\\end{aligned}}$

Convolução em Tempo Discreto

${\mathcal {Z}}\{g[n]*h[n]\}=H(z)G(z)$

Transformada da Derivada

${\mathcal {Z}}\{{g[n]-g[n-1]}\}={\bigl (}1-z^{-1}{\bigr )}G(z)$

Significado Físico da transformada Z

Seja $H(z)=z^{-1}$

Função de Transferência

${\begin{aligned}U(z)&=z^{-1}E(z)\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=z^{-1}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k]z^{-k}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=z^{-1}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-(k-1)}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-(k-1)}z^{-1}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-k}\\u[k]&=e[k-1]\end{aligned}}$

Assim, a função transferência $z^{-1}$ significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado

Relação com a Transformada de Laplace

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.

Seja um sinal, $x(n)$ amostrado da forma:

${\begin{aligned}x[n]=x(nT)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\\end{aligned}}$

onde $T$ é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace $X(s)$ do sinal $x(n)$ é:

${\begin{aligned}X(s)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT){\Biggr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\delta (t-nT){\Bigr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-nTs}\\\end{aligned}}$

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável $z=e^{Ts}$.

${\begin{aligned}X(s)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-nTs}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)z^{-n}\end{aligned}}$

Definição (transformada z unilateral)

Seja $x[n]$ definida para $n\in {\bf {Z}}$. A Transformada Z uniateral da função $x[n]$ é dada por:

$X(z)={\mathcal {Z}}_{U}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}=x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots$

Propriedades da Transformada Z unilateral

Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:

${\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n]\}=G_{U}(z)\\&{\mathcal {Z}}_{U}\{h[n]\}=H_{U}(z)\\\end{aligned}}$

então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:

Deslocamento temporal

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-1]\}&=z^{-1}G_{U}(z)+g[-1],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-2]\}&=z^{-2}G_{U}(z)+z^{-1}g[-1]+g[-2],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-3]\}&=z^{-3}G_{U}(z)+z^{-2}g[-1]+z^{-1}g[-2]+g[-3],\\\vdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+1]\}&=z\ G_{U}(z)-z\ g[0],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+2]\}&=z^{2}G_{U}(z)-z^{2}g[0]-z\ g[1],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+3]\}&=z^{3}G_{U}(z)-z^{3}g[0]-z^{2}g[1]-z\ g[2],\\\vdots \end{aligned}}$

Aplicações da Transformada Z

Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas

A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.

$y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=3^{n},\ \ n\geq 0,\qquad {\text{com}}\ \ y[0]=1\qquad y[1]=0$

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de $y[n]$, podemos escrever

${\begin{aligned}&\mathbb {Z} {\big \{}y[n+1]{\big \}}=z{\bar {y}}-z\\&\mathbb {Z} {\big \{}y[n+2]{\big \}}=z\mathbb {Z} {\Big \{}y[n+1]{\Big \}}-zy[1]=z^{2}{\bar {y}}-z^{2}\end{aligned}}$

vemos que

$\mathbb {Z} {\big \{}3^{n}u[n]{\big \}}={\frac {z}{z-3}}$

Assim, a transformada da equação de diferenças será

$(z^{2}+3z+2){\bar {y}}-z^{2}-3z={\frac {z}{z-3}}$

e daí obtemos

$\color {Blue}{{\bar {y}}={\frac {z^{2}+3z}{(z+1)(z+2)}}+{\frac {z}{(z+1)(z+2)(z-3)}}}$

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator $z$ no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:

${\begin{aligned}&{\frac {z+3}{(z+1)(z+2)}}={\frac {2}{z+1}}-{\frac {1}{z+2}}\\&{\frac {1}{(z+1)(z+2)(z-3)}}={\frac {1}{5(z+2)}}-{\frac {1}{4(z+1)}}+{\frac {1}{20(z-3)}}\end{aligned}}$

multiplicando cada fração parcial pelo fator $z$ que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)

${\bar {y}}={\frac {7z}{4(z+1)}}-{\frac {4z}{5(z+2)}}+{\frac {z}{20(z-3)}}$

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais

$y[n]=\left({\frac {7}{4}}(-1)^{n}-{\frac {4}{5}}(-2)^{n}+{\frac {3^{n}}{20}}\right)u[n]\qquad$

Circuito elétrico

Circuito escada simétrico de (k+1) malhas

Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.

Sendo todas as resistências iguais, $R={\frac {V}{i}}$, onde $V$ represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e $i$, a intensidade de corrente que passa nessa resistência.

Analisando a primeira malha, tem-se que:

$V=Ri_{0}+R(i_{0}-i_{1})$, ou ainda,

Primeira malha do circuito

$i_{1}=2i_{0}-{\frac {V}{R}}$

Da segunda malha segue:

$R(i_{1}-i_{0})+Ri_{1}+R(i_{1}-i_{2})=0$, ou seja

$3i_{1}-i_{0}-i_{2}=0$

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer $V$ para obter $i_{2}$, pois

$i_{2}=3i_{1}-i_{0}$

k_ésima malha do circuito

Tem-se ainda, uma série: ${\begin{aligned}i_{n+2}=3i_{n+1}-i_{n}\\i_{n+2}-3i_{n+1}+i_{n}=0\end{aligned}}$

, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de $i_{n}$ para qualquer elemento $n$ do circuito.

Aplicando a Transformada ${\mathcal {Z}}$, obtém-se:

$z^{2}{\mathcal {Z}}[i_{n}](z)-z^{2}i_{0}-zi_{1}-3z{\mathcal {Z}}[i_{n}](z)+3zi_{0}+{\mathcal {Z}}[i_{n}](z)=0$ou seja,

${\begin{aligned}(z^{2}-3z+1){\mathcal {Z}}[i_{n}](z)&=z^{2}i_{0}+zi_{1}-3zi_{0}\\z^{2}i_{0}+zi_{1}-3zi_{0}&=i_{0}(z^{2}-3z)+(2i_{0}-{\frac {V}{R}})z\\&=i_{0}(z^{2}-z)-z{\frac {V}{R}}\\&=i_{0}{\Biggl (}z^{2}-z{\Biggl (}(1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}$

Assim, ${\mathcal {Z}}[i_{n}](z)={\frac {z^{2}-z{\Bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigr )}}{z^{2}-3z+1}}i_{0}$

Consequentemente, $i_{n}={\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z^{2}-z{\Bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigr )}}{z^{2}-3z+1}}i_{0}{\Biggr ]}$

Aplicando a Transformada inversa

${\begin{aligned}i_{n}&={\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z^{2}-z\cosh(w)}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}i_{0}+{\frac {z\cosh(w)-z{\bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\bigr )}}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Biggr ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z{\bigl (}{\frac {3}{2}}-1-{\frac {V}{i_{0}R}}{\bigr )}}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Bigg ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigg )}i_{0}{\mathcal {Z}}^{-1}{\Bigg [}{\frac {{\frac {2}{\sqrt {5}}}z\sinh(w)}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Bigg ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigg )}i_{0}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\sinh(nw)\end{aligned}}$

Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

$i_{n}=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {i_{0}}{\sqrt {5}}}-{\frac {V}{R{\sqrt {5}}}}{\Bigg )}\sinh(nw)$

Tabela de Transformadas Z selecionadas

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável. Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função	$f[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\left\{F(z)\right\}$	$F(z)={\mathcal {Z}}\left\{f[n]\right\}$
impulso unitário	$\delta [n]$	$1$
impulso atrasado	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$
degrau unitário	$u[n]$	${z \over z-1}$
rampa	$n\cdot u[n]$	${z \over (z-1)^{2}}$
rampa quadrática	$n^{2}\cdot u[n]$	${\frac {z(z+1)}{(z-1)^{3}}}$
rampa cúbica	$n^{3}\cdot u[n]$	${\frac {z(z^{2}+4z+1)}{(z-1)^{4}}}$
exponencial	$a^{n}\cdot u[n]$	${\frac {z}{z-a}}$
exponencial atrasada	$a^{n-1}\cdot u[n-1]$	${\frac {1}{z-a}}$
rampa exponencial	$n\cdot a^{n}\cdot u[n]$	${\frac {az}{(z-a)^{2}}}$
rampa quadrática exponencial	$n^{2}\cdot a^{n}\cdot u[n]$	${\frac {az(z+a)}{(z-a)^{3}}}$
rampa quadrática exponencial	${\frac {n(n-1)(n-2)...(n-q=1)}{a^{q}\cdot q!}}\cdot a^{n}\cdot u[n]$	${\frac {z}{(z-a)^{q+1}}}$
Seno exponencial	$b^{n}\cdot \sin(\omega n)\cdot u[n]$	${\frac {zb\sin(\omega )}{z^{2}-2b\cos(\omega )z+b^{2}}}$
Cosseno exponencial (I)	$b^{n}\cdot \cos(\omega n)\cdot u[n]$	${\frac {z[z-b\cos(\omega )]}{z^{2}-2b\cos(\omega )z+b^{2}}}$
Cosseno exponencial (II)	$b^{n}\cdot \cos(\omega n+\theta )\cdot u[n]$	${\frac {z[z\cos(\theta )-b\cos(\omega -\theta )]}{z^{2}-2b\cos(\omega )z+b^{2}}}$
Cosseno exponencial (III)	$b^{n}\cdot \cos(\omega n+\theta )\cdot u[n]$	${\frac {e^{j\theta }z}{2(z-b)}}-{\frac {e^{-j\theta }z}{2(z-b^{*})}}$
Cosseno exponencial (IV)	$Cb^{n}\cdot \cos(\omega n+\theta )\cdot u[n]$	${\frac {z(Az+B)}{z^{2}+2az+b^{2}}}$ $C={\sqrt {\frac {A^{2}b^{2}-2AaB+B^{2}}{b^{2}-a^{2}}}}$ $\omega =\cos ^{-1}\left(-{\frac {a}{b}}\right)$ $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {Aa-B}{A{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}}\right)$
Nota explicatória: u[n] representa a Função de Heaviside. $\delta [n]$ representa a Delta de Dirac. $^{*}$ denota o conjugado complexo. n, um número inteiro, tipicamente representa tempo discreto, embora possa representar qualquer dimensão independente. Em geral, n > 0. z é a Frequência angular complexa discreta. a, b, ω e θ são números reais, sendo b > 0, 0 < ω < π e 0 < θ < 2π. m e q são números inteiros positivos.