A Transformada Z é de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital.
A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais.
Matematicamente, a transformada
bilateral é uma série de potências inteiras da variável complexa z, que, muitas vezes, pode ser escrita de maneira compacta como uma função fechada na variável complexa z.
Este último fato e as propriedades da transformada Z, permitem transformar equações de diferenças em equações algébricas que, em alguns casos, podem ser resolvidas facilmente.
Seja
definida para
. A Transformada Z bilateral da função
é dada por:
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\cdots +\ x[-2]z^{2}\ +\ x[-1]z\ +\ x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abcb41a8d232bf9d2ffeb3be6bf03c8d609ec5e)
onde
é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.
Região de convergência da tranformada Z
A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.
![{\displaystyle RDC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a5c71057147603e515425bc898b43dff999b99)
No caso em que
, para
, a série converge para valores de
em módulo, maiores que o raio de convergência
:

![{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert x[n]\right\vert }}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3882a81bb95c51805b85e3ec4f6f90b2575826d)

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano
que se encontram fora do círculo de raio
, centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).
Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}\{g[n]\}=G(z)\\&{\mathcal {Z}}\{h[n]\}=H(z)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccc65b08c97896a24b99eb52d56d40f758f6858)
então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha g[n]+\beta h[n]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\big (}\alpha g[n]+\beta h[n]{\big )}z^{-n}\\&=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }g[n]z^{-n}+\beta \sum _{n=0}^{\infty }h[n]z^{-n}\\&=\alpha {\mathcal {Z}}\{g[n]\}+\beta {\mathcal {Z}}\{h[n]\}\\&=\alpha G(z)+\beta H(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1694e53a192e4a30dfbf9d7bc7ba46fddb553352)
![{\displaystyle g[0]=\lim _{z\to \infty }G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1442c403d6e85ec87ac6a72e31892ee361d95d0f)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g[n]=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcb4f28384ab70ba0966667b5b34a6dc8295ae8)
Se
é um sinal discreto, então
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n-n_{0}]\}&=z^{-n_{0}}G(z),n_{0}\geq 0\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n-n_{0}]z^{-n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188473b77f5f8d89000a559f0137ff8baa0bd028)
Definindo 
![{\displaystyle =\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]z^{-m}z^{-n_{0}}=z^{-n_{0}}G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c327b018cefeb32100baf38b2e97fbe5b651210)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha ^{n}g[n]\}&=G\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a926e9e9c2b480c4f5b2a241c24ac34a63b59f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{ng[n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n](-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dG(z)}{dz}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb70b1a9e1772936d91eb1a6ed24c49768243c93)
Transformadas das sucessões de senos e co-senos[editar | editar código-fonte]
Consideremos uma função discreta
onde
e
são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é
também válido para números reais já que a série geométrica também converge no
plano complexo, obtemos
multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do
denominador, podemos separar as partes real e imaginária
Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo
e a linearidade da transformada Z, podemos escrever
onde
e
são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos
onde as constantes
e
são definidas por
A multiplicação da sequência
por uma sequência exponencial da forma
corresponde a uma dilatação no domínio de
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{h[-n]\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=H(z^{-1})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2037b532afbd04186571bafe8b34379df1e4bf1c)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\{g[n]*h[n]\}=H(z)G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36595c7185af4949698d3a3b01819d1ec47ef72f)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\{{g[n]-g[n-1]}\}={\bigl (}1-z^{-1}{\bigr )}G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f9a50fc85787094971e1872574add7b3e7bc1)
Seja 
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(z)&=z^{-1}E(z)\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=z^{-1}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k]z^{-k}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=z^{-1}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-(k-1)}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-(k-1)}z^{-1}\\\sum _{k=-\infty }^{\infty }u[k]z^{-k}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e[k-1]z^{-k}\\u[k]&=e[k-1]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f97774e6b095a271a0e85c78366523066075ad9)
Assim, a função transferência
significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado
A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.
Seja um sinal,
amostrado da forma:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x[n]=x(nT)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d0f630ab60a3a46f5f3aedb540e3b001e6e27e)
onde
é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace
do sinal
é:

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável
.[1]

Seja
definida para
. A Transformada Z uniateral da função
é dada por:
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}_{U}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}=x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b934ecc902ef3067ab3c66b16ae1e03dfd797e)
Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n]\}=G_{U}(z)\\&{\mathcal {Z}}_{U}\{h[n]\}=H_{U}(z)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1f306e4e3341763e0fdc6420f63595b55ac8cc)
então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-1]\}&=z^{-1}G_{U}(z)+g[-1],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-2]\}&=z^{-2}G_{U}(z)+z^{-1}g[-1]+g[-2],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n-3]\}&=z^{-3}G_{U}(z)+z^{-2}g[-1]+z^{-1}g[-2]+g[-3],\\\vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c629e5d975248ac2b2b897487e53ced298e295)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+1]\}&=z\ G_{U}(z)-z\ g[0],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+2]\}&=z^{2}G_{U}(z)-z^{2}g[0]-z\ g[1],\\{\mathcal {Z}}_{U}\{g[n+3]\}&=z^{3}G_{U}(z)-z^{3}g[0]-z^{2}g[1]-z\ g[2],\\\vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a70c46edec31455a938662b70115345f725b0ba)
Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas[editar | editar código-fonte]
A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.
Usando a expressão que obtivemos para a transformada de
, podemos
escrever
vemos que
Assim, a transformada da equação de diferenças será
e daí obtemos
O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas
inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de
fora um fator
no numerador, que será necessário manter em todas as
frações parciais.[2]
Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:
multiplicando cada fração parcial pelo fator
que deixamos de fora,
obtemos o lado direito da (Equação)
assi,, encontramos a solução do problema de
valores iniciais
Circuito escada simétrico de (k+1) malhas
Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.
Sendo todas as resistências iguais,
, onde
represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e
, a intensidade de corrente que passa nessa resistência.
Analisando a primeira malha, tem-se que:
, ou ainda,
Primeira malha do circuito

Da segunda malha segue:
, ou seja

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer
para obter
, pois

k_ésima malha do circuito
Tem-se ainda, uma série:
, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de
para qualquer elemento
do circuito.
Aplicando a Transformada
, obtém-se:
ou seja,
&=z^{2}i_{0}+zi_{1}-3zi_{0}\\z^{2}i_{0}+zi_{1}-3zi_{0}&=i_{0}(z^{2}-3z)+(2i_{0}-{\frac {V}{R}})z\\&=i_{0}(z^{2}-z)-z{\frac {V}{R}}\\&=i_{0}{\Biggl (}z^{2}-z{\Biggl (}(1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Biggr )}{\Biggr )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f241e59b0df2d01f556cfc915ef2ed8e452abd40)
Assim, ={\frac {z^{2}-z{\Bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigr )}}{z^{2}-3z+1}}i_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0e99732e4d751cd1a4dea8b2d6381b12cde0d0)
Consequentemente, ![{\displaystyle i_{n}={\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z^{2}-z{\Bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigr )}}{z^{2}-3z+1}}i_{0}{\Biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80da1e08d5b6524652888593bbde37ffa0b96245)
Aplicando a Transformada inversa
![{\displaystyle {\begin{aligned}i_{n}&={\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z^{2}-z\cosh(w)}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}i_{0}+{\frac {z\cosh(w)-z{\bigl (}1+{\frac {V}{i_{0}R}}{\bigr )}}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Biggr ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\mathcal {Z}}^{-1}{\Biggl [}{\frac {z{\bigl (}{\frac {3}{2}}-1-{\frac {V}{i_{0}R}}{\bigr )}}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Bigg ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigg )}i_{0}{\mathcal {Z}}^{-1}{\Bigg [}{\frac {{\frac {2}{\sqrt {5}}}z\sinh(w)}{z^{2}-2z\cosh(w)+1}}{\Bigg ]}\\&=i_{0}\cosh(nw)+{\Bigg (}{\frac {1}{2}}-{\frac {V}{i_{0}R}}{\Bigg )}i_{0}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\sinh(nw)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e9c715c2ab6f21019cf3b0609ef30068c8ded2)
Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável.[3]
Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.
Referências
- ↑ Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. [S.l.]: John Wiley & Sons.
- ↑ [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
- ↑ P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. Carmichael: Berkeley-Cambridge Press. 674 páginas. ISBN 0-941413-35-7