Transformada Z

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A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais. Além disso a transformada \mathbb{Z} define como construir uma função a partir de uma série. Assim, cada série é transformada numa função; isso permitirá transformar equações diferenciais em equações algébricas que em alguns casos podem ser resolvidas facilmente.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja f(t) definida para t ≥ 0. A Transformada-Z da série \{f(nT)\} é dada por:

F(z) = \mathcal{Z}\{f[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} f[n] z^{-n}

Transformada Inversa[editar | editar código-fonte]

 f[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{F(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} F(z) z^{n-1} dz

Região de convergência[editar | editar código-fonte]

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.

RDC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]z^{-n}\right| < \infty \right\}

A série converge para valores de z em módulo, maiores que o raio de convergência R:

{\left\vert z \right\vert } >  \limsup_{n\rightarrow +\infty }\sqrt[n]{\left\vert f(nT) \right\vert }=R

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano z que se encontram fora do círculo de raio R, centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).

Propriedades da Transformada Z[editar | editar código-fonte]

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas:

\begin{align} &\mathcal{Z}\{g(n)\}= G(z)\\
&\mathcal{Z}\{h(n)\}= H(z)\\

\end{align}

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

Linearidade[editar | editar código-fonte]

\begin{align} \mathcal{Z}\{\alpha g(n) + \beta h(n)\} &=\sum_{n=0}^{\infty}[\alpha g(n)+\beta h(n)]z^{-n}\\
&= \alpha\sum_{n=0}^{\infty}g(n)z^{-n}+\beta\sum_{n=0}^{\infty} h(n)z^{-n}\\
&=  \alpha\mathcal{Z}\{g(n)\}+\beta\mathcal{Z}\{h(n)\}\\
&=  \alpha G(z)+\beta H(z)

\end{align}

Teorema do valor inicial[editar | editar código-fonte]

g[0]= \lim_{z \to \infty}G(z)

Teorema do valor final[editar | editar código-fonte]

\lim_{n \to \infty}g(n)=\lim_{z \to 1}(z-1)G(z)

Deslocamento temporal[editar | editar código-fonte]

Atraso:[editar | editar código-fonte]

\begin{align} \mathcal{Z}\{g[n-n _0]\} &= z^{-n _0} G(z), n _0\geq0\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}g[n-n _0]z^{-n}
\end{align}

Definindo m=n-n _0

\sum_{m=-\infty}^{\infty}h[m]z^{-m}z^{-n _0} = z^{-n _0}H(z)

Avanço:[editar | editar código-fonte]

\begin{align} \mathcal{Z}\{g[n+n _0]\} &= z^{n _0} \Biggl(G(z)-\sum_{m=0}^{n _0-1}g[m]z^{-m}\Biggr), n _0>0\\

\end{align}

Mudança de Escala[editar | editar código-fonte]

\begin{align} \mathcal{Z}\{\alpha^n g[n]\} &= G\left ( \frac{z}{\alpha} \right )\\

\end{align}

Derivada da Transformada Z[editar | editar código-fonte]

\begin{align} \mathcal{Z}\{ng(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} ng(n)z^{-n}\\
&= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} ng(n)z^{-n-1}\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} g(n)(-nz^{-n-1})\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} g(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\
&= -z \frac{dG(z)}{dz}
\end{align}

Reversão temporal[editar | editar código-fonte]

 
\begin{align} \mathcal{Z}\{f(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(-n)z^{-n} \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} f(m)z^{m}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} f(m){(z^{-1})}^{-m}\\
&= F(z^{-1}) \\
\end{align}

Convolução em Tempo Discreto[editar | editar código-fonte]

 
\mathcal Z {g[n]*h[n]} = H(z)G(z)

Transformada da Derivada[editar | editar código-fonte]

 
\mathcal Z \{{g[n]-g[n-1]}\} = \bigl(1-z^{-1}\bigr)G(z)

Relação com a Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.

Seja um sinal, x(n)  amostrado da forma:

\begin{align} x[n]=x(nT) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-nT) \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}  x(nT)\delta(t-nT)\\
\end{align}

onde T  é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace X(s)  do sinal x(n)  é:

\begin{align} X(s) &=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \Biggl(\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-nT)\Biggr)e^{-st} dt\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) \int\limits_{-\infty}^{\infty}\Bigl(\delta(t-nT) \Bigr)e^{-st} dt\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) e^{-sT}\\
\end{align}

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável z = e^{Ts} [1] .

\begin{align} X(s) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) e^{-sT}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) z^{-n} 
\end{align}

Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas[editar | editar código-fonte]

A transformada Z é útil para resolver equações de diferenças lineares, de coeficientes constantes, não homogêneas.[2] Consideremos um exemplo com valores iniciais:


  y_{n+2} + 3 y_{n+1} + 2 y_n = 3^n \qquad y_0 = 1 \qquad y_1 = 0

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de \{y_{n+1}\}, podemos escrever


\begin{align}
  &\mathbb{Z}\big\{y_{n+1}\big\}  =  z \bar{y} - z \\
  &\mathbb{Z}\big\{y_{n+2}\big\} =  z \mathbb{Z}\Big\{y_{n+1}\Big\} - z y_1 = z^2 \bar{y} - z^2
\end{align}

vemos que


  \mathbb{Z}\big\{3^n\big\} = \frac{z}{z - 3}

Assim, a transformada da equação de diferenças será


  (z^2 + 3z + 2) \bar{y} - z^2 - 3 z = \frac{z}{z - 3}

e daí obtemos


  \color{Blue}{\bar{y} = \frac{z^2 + 3 z}{(z + 1)(z + 2)}
  + \frac{z}{(z + 1)(z + 2)(z - 3)}}

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator z no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.[2]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:


\begin{align}
  &\frac{z + 3}{(z + 1)(z + 2)} = \frac{2}{z + 1} - \frac{1}{z + 2}\\
  &\frac{1}{(z + 1)(z + 2)(z - 3)} = \frac{1}{5(z + 2)} - \frac{1}{4(z + 1)}
  + \frac{1}{20(z - 3)}
\end{align}

multiplicando cada fração parcial pelo fator z que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)


  \bar{y} = \frac{7z}{4(z + 1)} - \frac{4z}{5(z + 2)}
  + \frac{z}{20(z - 3)}

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais


  y_n = \frac{7}{4}(-1)^n - \frac{4}{5}(-2)^n + \frac{3^n}{20} \qquad


Tabela de Transformadas Z selecionadas[editar | editar código-fonte]

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável[3] . Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função f[n] = \mathcal{Z}^{-1} \left\{ F(z) \right\} F(z) = \mathcal{Z}\left\{ f[n] \right\}
impulso unitário  \delta[n]  1
impulso atrasado  \delta(n - m)  z^{-m}
degrau unitário  u[n]  { z \over z - 1 }
rampa  n \cdot u[n]  { z \over (z - 1)^2 }


rampa quadrática  n^2 \cdot u[n]  \frac{z (z + 1)}{(z - 1)^3}


rampa cúbica  n^3 \cdot u[n]  \frac{z (z^2 + 4+ 1)}{(z - 1)^4}


exponencial  a^{n} \cdot u[n]  \frac{z}{z - a}


exponencial atrasada  a^{n - 1} \cdot u[n - 1]    \frac{1}{z - a}


rampa exponencial  n \cdot a^{n} \cdot u[n]  \frac{a z}{(z - a)^2}


rampa quadrática exponencial  n^2 \cdot a^{n} \cdot u[n]  \frac{a z (z + a)}{(z - a)^3}


rampa quadrática exponencial  \frac{n(n - 1)(n - 2)...(n - q  = 1)}{a^q \cdot q!} \cdot a^n \cdot u[n]  \frac{z}{(z - a)^{q + 1}}


Seno exponencial  b^n \cdot \sin(\omega n) \cdot u[n]  \frac{z b \sin(\omega)}{z^2 - 2 b \cos(\omega) z + b^2}
Cosseno exponencial (I)  b^n \cdot \cos(\omega n) \cdot u[n]  \frac{z [ z - b \cos(\omega)]}{z^2 - 2 b \cos(\omega) z + b^2}
Cosseno exponencial (II)  b^n \cdot \cos(\omega n + \theta) \cdot u[n]  \frac{z [ z \cos(\theta) - b \cos(\omega - \theta)]}{z^2 - 2 b \cos(\omega) z + b^2}


Cosseno exponencial (III)  b^n \cdot \cos(\omega n + \theta) \cdot u[n]  \frac{e^{j \theta} z}{2(z - b)} - \frac{e^{-j \theta} z}{2(z - b^*)}


Cosseno exponencial (IV)  C b^n \cdot \cos(\omega n + \theta) \cdot u[n]  \frac{z (Az + B)}{z^2 + 2az + b^2}

 C = \sqrt{ \frac{A^2 b^2 - 2 A a B + B^2}{b^2 - a^2} }

 \omega = \cos^{-1} \left( - \frac{a}{b} \right)

 \theta = \tan^{-1} \left( \frac{Aa - B}{A \sqrt{b^2 - a^2} } \right)
Nota explicatória:

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. John Wiley & Sons. [S.l.] 
  2. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
  3. P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. (Carmichael: Berkeley-Cambridge Press). p. 674. ISBN 0-941413-35-7. 
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