Triângulo de Fuhrmann

Triângulo de Fuhrmann (vermelho): $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }$
pontos da metade de arco: $M_{a},M_{b},M_{c}$

Triângulo de Fuhrmann (vermelho): $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }$
$\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}$

O triângulo de Fuhrmann, denominado em memória de Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), é um triângulo especial baseado sobre um triângulo arbitrário.

Para um dado triângulo $\triangle ABC$ e seu circuncírculo (circunferência circunscrita) os pontos médios dos arcos sobre os lados do triângulo são denotados por $M_{a},M_{b},M_{c}$. Estes pontos médios são refletidos no lado associado do triângulo gerando os pontos $M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }$, que formam o triângulo de Fuhrmann.

O circuncírculo do triângulo de Fuhrmann é o círculo de Fuhrmann. Também, o triângulo de Furhmann é similar ao triângulo formado pelos pontos médios dos arcos, isto é $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}$. Para a área dos triângulo de Fuhrmann é satisfeita a fórmula

$|\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}},$

onde $O$ denota o circuncentro do dado triângulo $\triangle ABC$ e $R$ seu raio, com $I$ denotando o incentro e $r$ seu radio. Pelo teorema geométrico de Euler resulta $|OI|^{2}=R(R-2r)$. As seguintes equações são verificadas para os lados do triângulo de Fuhrmann,

$a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|$

$b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|$

$c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|,$

onde $a,b,c$ denotam os lados do dado triângulo $\triangle ABC$ e $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ os lados do triângulo de Fuhrmann (ver figura).