Cópula (estatística)

 Nota: Se procura outro significado de Cópula, veja Cópula.

Em estatística, uma função cópula é usada como método geral para formular distribuições multivariadas de maneira que diversos tipos gerais de dependência possam ser representados

Idéia básica

Considere duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ com distribuição cumulativa conjunta dada por $F_{X,Y}(x,y)$ e distribuições cumulativas marginais dadas por $F_{X}(x)$ e $F_{Y}(y)$. Segundo o teorema de Sklar , para qualquer par de variáveis aletórias existe uma função $C(u,v)$ tal que:

$F_{X,Y}\left(x,y\right)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))$

Sempre é possível fazer a transformação de variáveis

$u=F_{X}\left(x\right)$ e $v=F_{Y}\left(y\right)$,

de forma que U e V possuem ambas distribuições marginais uniformes no intervalo $[0,1]$. A distribuição cumulativa conjunta de U e V é dada pela própria função cópula:

$F_{U,V}\left(u,v\right)=C(u,v)$

A função cópula C(u,v) contém todas as informações da distribuição de probabilidade que independem das distribuições marginais. Dessa forma, pode-se dizer que as cópulas codificam a dependência entre as variáveis. Com essa construção temos que a distribuição conjunta de variáveis aletórias podem ser decompostas em distribuições marginais de cada uma das variáveis, que contém todas as informações sobre cada uma das variáveis correspondentes, e cópula, que contém toda a informação de como as variáveis dependem uma das outras.

Definição formal

Uma cópula é uma distribuição conjunta multivariada no cubo unitário n-dimensional $[0,1]^{n}$ tal que todas as distribuições marginais são uniformes no intervalo $[0,1]$:

$C\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)=C(\mathbf {u} )=\mathrm {Prob} \left(U_{1}<u_{1},U_{2}<u_{2},\ldots ,U_{n}<u_{n}\right)$ com $u_{n}\in [0,1]$,

$\operatorname {Prob} \left(U_{i}<u_{i}\right)=u_{i}$ para todo $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$.

De maneira maneira alternativa, uma função $C:\left[0,1\right]^{n}\rightarrow [0,1]$ é dita uma cópula em n dimensões se:

$C(\mathbf {u} )=0$ sempre que ao menos uma das componentes de $\mathbf {u}$ for nula,

$C(\mathbf {u} )=u_{i}$ sempre que todas as componentes de $\mathbf {u}$ são iguais a 1, exceto a i-ésima, que é igual a $u_{i}$,

$C(\mathbf {u} )$ é n-crescente, ou seja, todo $B=\times _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}$ possui C-volume maior ou igual a 0, com C-volume definido por $\sum _{\mathbf {z} \in \times _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{\operatorname {card} \{k\mid z_{k}=x_{k}\}}C(\mathbf {z} )$.

Caso n=2

No caso bivariado, a função $C\left(u,v\right):[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]$ é denominada uma cópula se:

$C(0,v)=C\left(u,0\right)=0$,

$C\left(u,1\right)=u$ e $C\left(1,v\right)=v$,

Se $u_{1}\leq u_{2}$ e $v_{1}\leq v_{2}$, então $C\left(u_{2},v_{2}\right)-C\left(u_{1},v_{2}\right)-C\left(u_{2},v_{1}\right)+C\left(u_{1},v_{1}\right)\geq 0$

Limites de Fréchet-Hoeffding

As funções $W(u,v)=\max(0,u+v-1)$ e $M(u,v)=\min(u,v)$ são cópulas bivariadas e possuem a propriedade de limitar por cima e por baixo todas as outras cópulas possíveis. Assim, se $C(u,v)$ é uma cópula em 2 dimensões, então:

$W\left(u,v\right)\leq C(u,v)\leq M(u,v)$ para quaisquer u e v no intervalo unitário.

No caso multivariado também existem cópulas limítrofes dadas por:

$W(u_{1},u{2},\ldots ,u_{n})=\max \left(1-n+\sum _{i=1}^{n}u_{i},0\right)$ e $M(u_{1},u{2},\ldots ,u_{n})=\min \left(u_{1},u{2},\ldots ,u_{n}\right)$,

de tal forma que $W(\mathbf {u} )\leq C(\mathbf {u} )\leq M(\mathbf {u} )$.

Densidade de Cópula

A função densidade de probabidade é dada por:

$p_{X,Y}(x,y)={\frac {\partial ^{2}F_{X,Y}\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}}=c(F_{X}(x),F_{Y}(y))p_{X}(x)p_{Y}(y)$

onde $p_{X}(x)$ e $p_{Y}(y)$ são as funções densidade de probabilidade marginais de X e Y respectivamente e a função:

$c(u,v)={\frac {\partial ^{2}}{\partial u\partial v}}C(u,v)$

é dita a densidade de cópula. A densidade de cópula é também a função densidade de probabilidade conjunta para as variáveis U e V definidas acima.

Cópulas importantes e famílias de cópulas

Nas aplicações em finanças e inferência estatística pode-se famílias de distribuições multivariadas construídas com cópulas parametrizadas por um ou mais parâmetros a serem encontrados através dos métodos estabelecidos de inferência (método dos momentos, máxima verossimilhança, estimação bayesiana de parâmetros, etc). Abaixo algumas famílias conhecidas de cópulas são apresentadas com suas propriedades mais importantes.

Cópula trivial

Além das cópulas de Fréchet-Hoeffding, que indicam dependência máxima positiva e negativa, uma terceira cópula importante é aquela que indica dependência estatística nula, a cópula trivial ou cópula produto:

$C\left(u,v\right)=uv$

Essa cópula é a que surge quando as variáveis são estatísticamente independentes, ou seja, quando a distribuição conjunta pode ser escrita como um produto das distribuições marginais. No caso multivariado a cópula produto é dada por:

$C\left(\mathbf {u} \right)=\prod _{i=1}^{n}u_{i}$

Cópula Normal ou Gaussiana

A distribuição normal multivariada pode ser usada para construir uma familia de cópulas através da mudança de variáveis indicada na introdução. Dessa forma se obtém uma família de cópulas parametrizadas pelos $n(n-1)/2$ coeficientes independentes da matriz de correlação. A cópula gaussiana ou normal será portanto dada por:

$C_{\hat {\Sigma }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{\left[2\pi \det({\hat {\Sigma }})\right]^{\frac {n}{2}}}}\int _{-\infty }^{\Phi ^{-1}\left(u_{1}\right)}\int _{-\infty }^{\Phi ^{-1}\left(u_{2}\right)}\cdots \int _{-\infty }^{\Phi ^{-1}\left(u_{n}\right)}dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\hat {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} \right]$

em que:

• ${\hat {\Sigma }}={\begin{bmatrix}1&\rho _{1,2}&\cdots &\rho _{1,n}\\\rho _{2,1}&1&\cdots &\rho _{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\rho _{n,1}&\rho _{n,2}&\cdots &\rho _{n,n}\end{bmatrix}}$ é a matriz de correlação que parametriza a cópula e

• $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)$ é a distribuição cumulativa de uma variável com distribuição normal padronizada e $\operatorname {erf} (x)$ é a função erro.

No caso bivariado ficamos com:

$C_{\rho }\left(u,v\right)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{-\infty }^{\Phi ^{-1}\left(u\right)}dx\int _{-\infty }^{\Phi ^{-1}\left(v\right)}dy\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{x^{2}+y^{2}}-2\rho xy\right]\right)$

onde $\rho$ é a correlação que parametriza a cópula.

A cópula normal se reduz à cópula produto quando a matriz de correlação é diagonal, i. e., quando todas as correlações são nulas.

Cópula t

Assim como a cópula normal pode ser definida a partir da distribuição normal multivariada, a distribuição t de Student multivariada dá origem à cópula t. A cópula t é dada por:

$C_{{\hat {\Sigma }},\nu }(\mathbf {u} )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +d}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {(\pi \nu )^{d}|{\hat {\Sigma }}|}}}}\int _{-\infty }^{t_{\nu }^{-1}\left(u_{1}\right)}dx_{1}\int _{-\infty }^{t_{\nu }^{-1}\left(u_{2}\right)}dx_{2}\ldots \int _{-\infty }^{t_{\nu }^{-1}\left(u_{n}\right)}dx_{n}\left[1+{\frac {\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\hat {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{\nu }}\right]^{-{\frac {\nu +d}{2}}}$,

em que:

• ${\hat {\Sigma }}$ é a matriz de correlações, como no caso da cópula normal,
• $\nu$ é o parâmetro conhecido como número de graus de liberdade da distribuição t e
• $t_{\nu }(x)$ é a distribuição cumulativa de uma distribuição Student t univariada padronizada.

Quando o número de graus de liberdade $\nu$ é muito grande, a cópula t fica cada vez mais próxima da cópula gaussiana, ficando idêntica à mesma no limite $\nu \rightarrow \infty$.

Cópulas arquimedianas

Algumas cópulas podem ser escritas na forma:

$C(u,v)=\phi ^{-1}\left(\phi (u)+\phi (v)\right)$

e são chamadas cópulas arquimedianas com função geradora $\phi (x)$. Qualquer função pode ser a função geradora de uma cópula arquimediana se satisfizer os critérios:

$\phi \left(0\right)=1$

$\lim _{x\rightarrow 0}\phi (x)=\infty$

${\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}<0$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} x^{2}}}>0$

Cópulas dessa classe são usadas extensamente em econometria, finanças e estatística por possuírem expressões analíticas extremamente simples para a maioria de seus momentos e parâmetros de dependência.

A cópula produto é uma cópula arquimediana com função geradora $\phi (x)=-\ln(x)$.

Cópula de Clayton

A cópula de Clayton é obtida usando a função geradora:

$\phi (x)={\frac {1}{\alpha }}(t^{-\alpha }-1)$ ,

e é dada pela expressão:

$C(u,v)=\max(\left[u^{-\alpha }+v^{-\alpha }-1\right]^{-{\frac {1}{\alpha }}},0)$.

Cópula de Frank

A cópula de Frank é obtida usando a função geradora:

$\phi (x)=-\ln \left({\frac {\exp(-\alpha t)-1}{\exp(-\alpha )-1}}\right)$ ,

e é dada pela expressão:

$C(u,v)=-{\frac {1}{\alpha }}\ln \left(1+{\frac {(e^{-\alpha u}-1)(e^{-\alpha v}-1)}{e^{-\alpha }-1}}\right)$.

Cópula de Gumbel

A cópula de Gumbel é obtida usando a função geradora:

$\phi (x)=\ldots$ ,

e é dada pela expressão:

$C(u,v)=\ldots$.