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Em estatística, o termo modelo linear é usado de diferentes formas de acordo com o contexto. A ocorrência mais comum se dá em conexão com modelos de regressão e o termo é frequentemente assumido como sinônimo de modelo de regressão linear. Entretanto, o termo é também usado em análise de séries temporais com um significado diferente. Em cada caso, a designação "linear" é frequentemente usada para identificar uma subclasse de modelos para os quais uma redução substancial na complexidade da teoria estatística relacionada é possível.^[1]

Modelos de regressão linear

Para o caso da regressão, o modelo estatístico é como segue. Dada uma amostra (aleatória) $(Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),i=1,\ldots ,n$ , a relação entre as observações $Y_{i}$ e as variáveis independentes $X_{ij}$ é formulada como:

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n;$

em que $\phi _{1},\ldots ,\phi _{p}$ podem ser funções não lineares. Acima, as quantidades $\varepsilon _{i}$ são variáveis aleatórias que representam os erros na relação. A parte "linear" da designação se relaciona com o aparecimento dos coeficientes de regressão $\beta _{j}$ em uma forma linear na relação acima. Alternativamente, pode-se dizer que os valores previstos correspondentes ao modelo acima, mais precisamente:

${\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\qquad (i=1,\ldots ,n),$

são funções lineares dos $\beta _{j}$ . Dado que a estimativa é realizada com base em um análise de mínimos quadrados, estimativas dos parâmetros desconhecidos $\beta _{j}$ são determinadas ao minimizar uma função de soma de quadrados:

$S=\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\right)^{2}.$ ^[2]

A partir disto, pode-se ver prontamente que o aspecto "linear" do modelo significa o seguinte:

A função a ser minimizada é uma função quadrática dos $\beta _{j}$ , para a qual a minimização é um problema relativamente simples;
As derivadas da função são funções lineares dos $\beta _{j}$ , o que torna mais fácil encontrar os valores minimizantes;
Os valores minimizantes $\beta _{j}$ são funções lineares das observações $Y_{i}$ ;
Os valores minimizantes $\beta _{j}$ são funções lineares dos erros aleatórios $\varepsilon _{i}$ , o que torna relativamente fácil determinar as propriedades estatísticas dos valores estimados dos $\beta _{j}$ .^[3]

Modelos de séries temporais

Um exemplo de um modelo linear de série temporal é um modelo ARMA. Aqui, o modelo para valores $\{X_{t}\}$ em uma série temporal pode ser escrito na forma:

$X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i},$

em que novamente as quantidades $\varepsilon _{t}$ são variáveis aleatórias que representam inovações, que são novos efeitos aleatórios que aparecem em um certo tempo, mas que também afetam valores de $X$ em tempos posteriores. Neste exemplo, o uso do termo "modelo linear" se refere à estrutura da relação acima ao representar $X_{t}$ como uma função linear dos valores passados da mesma série temporal e dos valores presentes e passados das inovações. Este aspecto particular da estrutura significa que é relativamente simples derivar relações para as propriedades de média e covariância da série temporal. Nota-se que aqui a parte "linear" do termo "modelo linear" não está se referindo ao coeficientes $\varphi _{i}$ e $\theta _{i}$ , como seria no caso de um modelo de regressão, que parece estruturalmente semelhante.^[4]

Outros usos em estatística

Há algumas outras instâncias em que "modelo não linear" é usado para contrastar com um modelo linearmente estruturado, embora o termo "modelo linear" não seja usualmente aplicado. Um exemplo disto é a redução de dimensionalidade não linear.^[5]

Ver também

Referências

↑ Mardia, K. M.; Kent, J. T.; Bibby, J. M. (1979). Multivariate analysis. London: Academic Press. ISBN 0124712525. OCLC 6164035
↑ Friston, K. J.; Holmes, A. P.; Worsley, K. J.; Poline, J. -P.; Frith, C. D.; Frackowiak, R. S. J. (1994). «Statistical Parametric Maps in functional imaging: A general linear approach». Human Brain Mapping. Consultado em 20 de fevereiro de 2018
↑ Seber, George A. F.; Lee, Alan J. (2003). Linear regression analysis 2 ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. ISBN 9781118274422. OCLC 775437886
↑ Priestley, Maurice Bertram (1998). Non-linear and non-stationary time series analysis. London: Academic Press. ISBN 0125649118. OCLC 24107579
↑ Lee, John Aldo; Verleysen, Michel (2007). Nonlinear dimensionality reduction. New York: Springer. ISBN 9780387393513. OCLC 191448634

[1] Mardia, K. M.; Kent, J. T.; Bibby, J. M. (1979). Multivariate analysis. London: Academic Press. ISBN 0124712525. OCLC 6164035

[2] Friston, K. J.; Holmes, A. P.; Worsley, K. J.; Poline, J. -P.; Frith, C. D.; Frackowiak, R. S. J. (1994). «Statistical Parametric Maps in functional imaging: A general linear approach». Human Brain Mapping. Consultado em 20 de fevereiro de 2018

[3] Seber, George A. F.; Lee, Alan J. (2003). Linear regression analysis 2 ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. ISBN 9781118274422. OCLC 775437886

[4] Priestley, Maurice Bertram (1998). Non-linear and non-stationary time series analysis. London: Academic Press. ISBN 0125649118. OCLC 24107579

[5] Lee, John Aldo; Verleysen, Michel (2007). Nonlinear dimensionality reduction. New York: Springer. ISBN 9780387393513. OCLC 191448634

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+{{Estatística sidebar}}
-Em [[estatística]], o termo '''modelo linear''' é usado de diferentes maneiras de acordo com o contexto. O sentido mais comum é em com conexão com modelos de regressão e o termo é frequentemente tomado como um sinônimo de modelo de [[regressão linear]]. Entretanto o termo é também usado em análise de [[Série temporal|séries temporais]] com um diferente significado. Em cada caso, a designação "linear" é usada para identificar uma subclasse de modelos para os quais redução substancial na complexidade da [[teoria estatística]] relacionada é possível.
+Em [[estatística]], o termo '''modelo linear''' é usado de diferentes formas de acordo com o contexto. A ocorrência mais comum se dá em conexão com modelos de regressão e o termo é frequentemente assumido como sinônimo de modelo de [[regressão linear]]. Entretanto, o termo é também usado em análise de [[Série temporal|séries temporais]] com um significado diferente. Em cada caso, a designação "linear" é frequentemente usada para identificar uma subclasse de modelos para os quais uma redução substancial na complexidade da teoria estatística relacionada é possível.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/6164035|título=Multivariate analysis|ultimo=Mardia|primeiro=K. M.|ultimo2=Kent|primeiro2=J. T.|ultimo3=Bibby|primeiro3=J. M.|editora=Academic Press|ano=1979|local=London|isbn=0124712525|oclc=6164035}}</ref>
+==Modelos de regressão linear==
+{{main|Regressão linear}}
+Para o caso da regressão, o [[modelo estatístico]] é como segue. Dada uma [[Amostra (estatística)|amostra]] (aleatória) <math> (Y_i,X_{i1},\ldots,X_{ip}),i =1,\ldots,n </math>, a relação entre as observações <math> Y_i </math> e as [[Variáveis dependentes e independentes|variáveis independentes]] <math> X_{ij} </math> é formulada como:<blockquote><math>Y_i=\beta_0 +\beta_1\phi_1(X_{i1})+\cdots+\beta_p\phi_p(X_{ip})+\varepsilon_i\qquad i=1,\ldots,n; </math></blockquote>em que <math> \phi_1,\ldots,\phi_p </math> podem ser funções não lineares. Acima, as quantidades <math> \varepsilon_i </math> são variáveis aleatórias que representam os erros na relação. A parte "linear" da designação se relaciona com o aparecimento dos coeficientes de regressão <math> \beta_j </math> em uma forma linear na relação acima. Alternativamente, pode-se dizer que os valores previstos correspondentes ao modelo acima, mais precisamente:<blockquote><math>\hat{Y}_i=\beta_0+\beta_1\phi_1(X_{i1})+\cdots+\beta_p\phi_p(X_{ip})\qquad(i=1,\ldots,n), </math></blockquote>são funções lineares dos <math>\beta_j </math>.
+Dado que a estimativa é realizada com base em um análise de [[Método dos mínimos quadrados|mínimos quadrados]], estimativas dos parâmetros desconhecidos <math>\beta_j </math> são determinadas ao minimizar uma função de soma de quadrados:<blockquote><math>S=\sum_{i = 1}^n\left(Y_i-\beta_0-\beta_1\phi_1(X_{i1})-\cdots-\beta_p\phi_p(X_{ip})\right)^2 .</math><ref>{{citar periódico|ultimo=Friston|primeiro=K. J.|ultimo2=Holmes|primeiro2=A. P.|ultimo3=Worsley|primeiro3=K. J.|ultimo4=Poline|primeiro4=J. -P.|ultimo5=Frith|primeiro5=C. D.|ultimo6=Frackowiak|primeiro6=R. S. J.|ano=1994|titulo=Statistical Parametric Maps in functional imaging: A general linear approach|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/hbm.460020402/abstract|jornal=Human Brain Mapping|acessodata=20/02/2018}}</ref></blockquote>A partir disto, pode-se ver prontamente que o aspecto "linear" do modelo significa o seguinte:
+:*A função a ser minimizada é uma função quadrática dos <math>\beta_j </math>, para a qual a minimização é um problema relativamente simples;
+:*As derivadas da função são funções lineares dos <math>\beta_j </math>, o que torna mais fácil encontrar os valores minimizantes;
+:*Os valores minimizantes <math>\beta_j </math> são funções lineares das observações <math>Y_i</math>;
+:*Os valores minimizantes <math>\beta_j </math> são funções lineares dos erros aleatórios <math> \varepsilon_i </math>, o que torna relativamente fácil determinar as propriedades estatísticas dos valores estimados dos <math>\beta_j </math>.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/775437886|título=Linear regression analysis|ultimo=Seber|primeiro=George A. F.|ultimo2=Lee|primeiro2=Alan J.|editora=Wiley-Interscience|ano=2003|edicao=2|local=Hoboken, N.J.|isbn=9781118274422|oclc=775437886}}</ref>
+==Modelos de séries temporais==
+Um exemplo de um modelo linear de série temporal é um modelo [[ARMA]]. Aqui, o modelo para valores <math>\{X_t\}</math> em uma série temporal pode ser escrito na forma:<blockquote><math> X_t=c+\varepsilon_t+\sum_{i=1}^p\phi_i X_{t-i}+\sum_{i=1}^q\theta_i\varepsilon_{t-i},</math></blockquote>em que novamente as quantidades <math> \varepsilon_t</math> são variáveis aleatórias que representam inovações, que são novos efeitos aleatórios que aparecem em um certo tempo, mas que também afetam valores de <math> X</math> em tempos posteriores. Neste exemplo, o uso do termo "modelo linear" se refere à estrutura da relação acima ao representar <math> X_t</math> como uma função linear dos valores passados da mesma série temporal e dos valores presentes e passados das inovações. Este aspecto particular da estrutura significa que é relativamente simples derivar relações para as propriedades de [[média]] e [[covariância]] da série temporal. Nota-se que aqui a parte "linear" do termo "modelo linear" não está se referindo ao coeficientes <math> \varphi_i</math> e <math> \theta_i</math>, como seria no caso de um modelo de regressão, que parece estruturalmente semelhante.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/24107579|título=Non-linear and non-stationary time series analysis|ultimo=Priestley|primeiro=Maurice Bertram|editora=Academic Press|ano=1998|local=London|isbn=0125649118|oclc=24107579}}</ref>
+==Outros usos em estatística==
+Há algumas outras instâncias em que "modelo não linear" é usado para contrastar com um modelo linearmente estruturado, embora o termo "modelo linear" não seja usualmente aplicado. Um exemplo disto é a redução de dimensionalidade não linear.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/191448634|título=Nonlinear dimensionality reduction|ultimo=Lee|primeiro=John Aldo|ultimo2=Verleysen|primeiro2=Michel|editora=Springer|ano=2007|local=New York|isbn=9780387393513|oclc=191448634}}</ref>
+==Ver também==
+* [[Modelo estatístico]]
+* [[Modelo linear generalizado]]
+==Referências==
+{{Reflist}}
 {{Portal3|Probabilidade e Estatística}}
+[[Categoria:Análise de regressão]]
-{{DEFAULTSORT:Modelo Linear}}
 [[Categoria:Estatística]]
+[[Categoria:Mineração de dados]]
-[[ar:نموذج الانحدار الخطي]]
-[[de:Lineares Modell]]