Mapa de Hénon

O mapa de Hénon, proposto originalmente em 1976 por Michel Hénon é definido pela equação de recorrência

$\mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {f} \left(\mathbf {x} _{n}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}y_{n}+1-ax_{n}^{2}\\bx_{n}\end{array}}\right)$

Atrator do mapa de Hénon para $a=1.4$ e $b=0.3$

em que $a$ e $b$ são parâmetros fixos. Para alguns valores de $a$ e $b$ verifica-se que esse sistema gera sinais caóticos. Por exemplo, para $a=1.4$ e $b=0.3$ que foram utilizados no trabalho original de Hénon.

Os expoentes de Lyapunov das órbitas que são atraídas para o atrator nesse caso podem ser obtidos numericamente resultando $h^{(1)}=0.42$ e $h^{(2)}=-1.62$ . Esses expoentes e o aspecto aperiódico dos sinais obtidos levam a concluir que ela é caótica.

Mapa de Hénon 3-D

Uma generalização para três dimensões do mapa de Hénon foi proposta em \cite{Hitzl1985}. Ela é dada por

\begin{equation}\label{eq::Henon3def}

\bm{s}(n+1)=\bm f_{H3}\left( \bm s(n)\right) =

\begin{bmatrix}

s_1(n+1) \\

s_2(n+1) \\

s_3(n+1)

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-\alpha s_1^2(n)+s_3(n)+1\\

-\beta s_1(n)\\

\beta s_1(n) + s_2(n)

\end{bmatrix}

\end{equation}

sendo $\{\alpha,\beta\}\subset\mathds{R}$ par\^{a}metros. Para $\alpha=1,07$ e $\beta=0,3$ verifica-se que quase todas as condições iniciais dentro da esfera unitária geram sinais caóticos cujo maior expoente de Lyapunov é $h^{(1)}\approx0,23$.

Nos gráficos (a)-(c) da Figura \ref{fig::henon3datrat}  mostra-se um trecho da \'{o}rbita obtida com condição inicial $\bm {s_0} = \begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^T$ para esses valores dos par\^{a}metros. O atrator é mostrado na Figura \ref{fig::henonatrat}(d), desprezando-se as primeiras 1 000 iterações.

\begin{figure}[!htb]

\centerline{\includegraphics[scale=.8]{./Figuras/henon3datrat.eps}}

\caption{\label{fig::henon3datrat} Mapa de  Hénon tridimensional $\bm f_{H3}(\cdot)$: (a), (b) e (c) trecho da órbita com condição

$\bm {s_0} = [0\;0\;0]^T$; (d) atrator da órbita. Fonte: \cite{Eisencraft2006d}.}

\end{figure}