Mapa de Hénon

Atrator do mapa de Hénon para $a=1.4$ e $b=0.3$

O mapa de Hénon, proposto originalmente em 1976 por Michel Hénon, é um sistema dinâmica de tempo discreto. É definido pela equação de recorrência

$$\mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {f} \left(\mathbf {x} _{n}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}y_{n}+1-ax_{n}^{2}\\bx_{n}\end{array}}\right)$$

em que $a$ e $b$ são parâmetros fixos. Para alguns valores de $a$ e $b$ verifica-se que esse sistema gera sinais caóticos. Por exemplo, para $a=1.4$ e $b=0.3$ que foram utilizados no trabalho original de Hénon.

Os expoentes de Lyapunov das órbitas que são atraídas para o atrator podem ser obtidos numericamente resultando $h^{(1)}=0.42$ e $h^{(2)}=-1.62$. O expoente positivo e o aspecto aperiódico dos sinais obtidos levam a concluir que ela é caótica.

Sensibilidade a condições iniciais no mapa de Hénon. Duas condições iniciais muito próximas geram sinais separados após algumas iterações. Essa é uma assinatura da presença de caos

Mapa de Hénon 3-D

Mapa de Hénon clássico (15 iterações)

Uma generalização para três dimensões do mapa de Hénon foi proposta por Hitz e Zele. Ela é dada por

$\mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}$.

Para $\alpha =1.07$ e $\beta =0.3$ verifica-se que quase todas as condições iniciais dentro da esfera unitária geram sinais caóticos cujo maior expoente de Lyapunov é $0.23$.

Outras generalizações

Diversas outras generalizações têm sido propostas na literatura. Pode-se gerar, por exemplo, sinais caóticos limitados em banda utilizando-se filtros digitais na realimentação do sistema.

Exemplo de órbita e atrator para o mapa de Hénon tridimensional