Teorema do índice de Atiyah-Singer

Na geometria diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para um operador diferencial elíptico sobre uma variedade compacta, o índice analítico (relacionado com a dimensão do espaço de soluções) é igual ao índice topológico (definida em termos de alguns dados topológicos). Ele inclui muitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e tem aplicações em física teórica.

Foi provado por Michael Atiyah e Isadore Singer em 1963.

Índice analítico

Quando devidamente estendido a um espaço de Sobolev, todo operador diferencial elíptico $D$ pode ser visto como um operador de Fredholm- ou seja, um operador contínuo com núcleo e conúcleo de dimensão finita. Assim, os espaços vetoriais $\ker(D)$ e $\operatorname {coker} (D)=\ker(D^{*})$ têm dimensão finita, e portanto podemos calcular o índice analítico do operador:

$\operatorname {Ind} (D)=\dim \ker(D)-\dim \operatorname {coker} (D)$

que é um invariante topológico de operadores de Fredholm entre espaços de Hilbert (isto é, dois operadores do tipo são homotópicos em $B(H)$ exatamente quando têm mesmo índice).

Índice topológico

Usando invariantes topológicas conhecidas como classes características, é possível associar a um operador elíptico $D$ o seu índice topológico, igual à expressão

$(-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )[TX]=(-1)^{n}\int _{TX}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )$

onde

• $\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )$ é a classe de Todd do fibrado tangente complexificado;
• $\operatorname {ch} (D)$ é igual a $\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D)))$, onde
  • $\operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$ é o caráter de Chern;
  • $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ é o "elemento de diferença" em $K(B(X)/S(X))$ associado aos fibrados $p^{*}E$ e $p^{*}F$ sobre $B(X)$ e o isomorfismo $\sigma (D)$ entre eles no subespaço $S(X)$;
  • $\sigma (D)$ é o símbolo de $D$.

Em algumas situações, é possível simplificar a fórmula acima para fins computacionais. Em particular, se $X$ é uma variedade (compacta) orientável $2m$-dimensional cuja classe de Euler $e(TX)$ é não-nula, então aplicando o isomorfismo de Thom e dividindo pela classe de Euler, o índice topológico pode ser expresso como

$(-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)$

onde a divisão por formas faz sentido na medida em que fazemos o pullback de $e(TX)^{-1}$ a partir do espaço classificante $BSO$.

O teorema do índice então afirma que: o índice analítico é igual ao índice topológico.

Ligações externas

• Rafe Mazzeo: Teorema do índice de Atiyah-Singer: o que é, e porque devemos nos preocupar.
• Raussen, Skau, Entrevista com Atiyah, Singer, Notices AMS 2005.
• R. R. Seeley and other, Notas antigas sobre operadores pseudo-diferenciais e teoria de índices
• A. J. Wassermann, Notas sobre o Teorema do índice de Atiyah-Singer