Anexo:Lista de métodos Runge-Kutta

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Métodos de Runge–Kutta são métodos para a solução numérica de equações diferenciais ordinárias

\frac{d y}{d t} = f(t, y)\,

tomando a forma

y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i\,
k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^s a_{ij} k_j\right).

Cada um dos métodos listados nesta página são definidos por sua matriz de Butcher, que mostram os coeficientes do método em uma tabela como segue:


\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
\end{array}

Métodos explícitos[editar | editar código-fonte]

Os métodos explícitos são aqueles onde a matriz [a_{ij}] é triangular inferior.


Euler direto[editar | editar código-fonte]

Este método é de primeira ordem. A falta de estabilidade e precisão o tornam popular principalmente como uma simples primeira introdução a solução numérica.


\begin{array}{c|c}
0 & 0 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}

Método de Kutta de terceira ordem[editar | editar código-fonte]


\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 1/2 & 0   & 0    \\
1   & -1  & 2   & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
[carece de fontes?]

Método clássico de quarta ordem[editar | editar código-fonte]

O método Runge–Kutta "original".


\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 1/2 & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 0   & 1/2 & 0   & 0\\
1   & 0   & 0   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\
\end{array}

Métodos implícitos[editar | editar código-fonte]

Euler reverso[editar | editar código-fonte]

Este método é de primeira ordem. Incondicionalmente estável e não oscilatório para problemas de difusão linear;



\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}

Métodos de Lobatto[editar | editar código-fonte]

Há três famílias de métodos de Lobatto, chamadas IIIA, IIIB and IIIC. Todos são métodos implícitos tendo ordem 2 s - 2 e todos eles tendo c_1=0 e c_s=1. Ao contrário de qualquer método explícito, é possível para esses métodos ter uma ordem maior que o número de estágios. Lobatto viveu antes do método clássico de quarta ordem ser popularizado por Runge e Kutta.

Método de Lobatto IIIA[editar | editar código-fonte]

Os Métodos de Lobatto IIIA são métodos de colocação. O método de segunda ordem é praticamente análogo ao método de Crank–Nicolson.


\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1   & 1/2 & 1/2\\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
\end{array}

O método de quarta ordem é dado por


\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
Método de Lobatto IIIB[editar | editar código-fonte]

Os métodos de Lobatto IIIB não são de colocação, mas eles podem ser vistos como métodos de colocação descontínuos O método de segunda ordem é dado por


\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 0  \\
1   & 1/2 & 0  \\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
\end{array}

O método de quarta ordem é dado por


\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/6& 0    \\
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0    \\
1   & 1/6 & 5/6 & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
Métodos de Lobatto IIIC[editar | editar código-fonte]

Os métodos de Lobatto IIIC também são métodos de colocação descontínuos. O método de segunda ordem é dado por:


\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & -1/2\\
1   & 1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
\end{array}

O método de quarta ordem é dado por


\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/3& 1/6  \\
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}

Referências[editar | editar código-fonte]

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