Lista de métodos Runge-Kutta

Métodos de Runge–Kutta são métodos para a solução numérica de equações diferenciais ordinárias

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y)\,$

tomando a forma

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\,$

$k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right).$

Cada um dos métodos listados nesta página são definidos por sua matriz de Butcher, que mostram os coeficientes do método em uma tabela como segue:

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}$

Métodos explícitos

Os métodos explícitos são aqueles onde a matriz $[a_{ij}]$ é triangular inferior.

Euler direto

Este método é de primeira ordem. A falta de estabilidade e precisão o tornam popular principalmente como uma simples primeira introdução a solução numérica.

${\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}$

Método de Kutta de terceira ordem

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$ ^{[carece de fontes]}

Método clássico de quarta ordem

O método Runge–Kutta "original".

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}$

Métodos implícitos

Euler reverso

Este método é de primeira ordem. Incondicionalmente estável e não oscilatório para problemas de difusão linear;

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

Métodos de Lobatto

Há três famílias de métodos de Lobatto, chamadas IIIA, IIIB and IIIC. Todos são métodos implícitos tendo ordem $2s-2$ e todos eles tendo $c_{1}=0$ e $c_{s}=1$. Ao contrário de qualquer método explícito, é possível para esses métodos ter uma ordem maior que o número de estágios. Lobatto viveu antes do método clássico de quarta ordem ser popularizado por Runge e Kutta.

Método de Lobatto IIIA

Os Métodos de Lobatto IIIA são métodos de colocação. O método de segunda ordem é praticamente análogo ao método de Crank–Nicolson.

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

O método de quarta ordem é dado por

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

Método de Lobatto IIIB

Os métodos de Lobatto IIIB não são de colocação, mas eles podem ser vistos como métodos de colocação descontínuos O método de segunda ordem é dado por

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

O método de quarta ordem é dado por

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

Métodos de Lobatto IIIC

Os métodos de Lobatto IIIC também são métodos de colocação descontínuos. O método de segunda ordem é dado por:

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

O método de quarta ordem é dado por

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

Referências

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0
• Hairer, Ernst & Wanner, Gerhard (1996). Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5 .
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian & Wanner, Gerhard (2006). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4.