Derivada fracionária de Grünwald-Letnikov

Derivada fracionária de Grünwald-Letnikov é uma das definições para derivada fracionária. Além de ser uma extensão da derivada do cálculo usual, pode ser escrita como uma série infinita destacando-se por ser uma ferramenta eficiente na resolução de problemas numéricos . Foi introduzida por Anton Karl Grünwald, em 1867, e por Aleksey Vasilievich Letnikov, em 1868. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Riemann-Liouville, derivada de Caputo, Riez e outras.

Formulação para derivada do Cálculo Clássico

Seja $f$ uma função definida em um intervalo que contém o ponto $t_{0}$ e que seja suficientemente bom e $n$ a ordem inteira da derivada , podemos escrever

$D^{1}f(t_{0})\;=\;\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(t_{0})-f(t_{0}-h)}{h}}$

$D^{2}f(t_{0})\;=\;D^{1}[D^{1}f(t_{0})]\;=\;\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(t_{0})-2f(t_{0}-h)+f(t_{0}-2h)}{h^{2}}}$

$D^{3}f(t_{0})\;=\;D^{1}[D^{2}f(t_{0})]\;=\;\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(t_{0})-3f(t_{0}-h)+3f(t_{0}-2h)-f(t_{0}-3h)}{h^{3}}}$

$.$

$.$

$.$

$D^{n}f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}f(t_{0}-kh)$

Definição da Derivada de Grünwald-Letnikov

A partir da formulação anterior a derivada segundo Grünwal-Letnikov é definida substituindo a ordem inteira $n$ por uma ordem arbitrária $\alpha$ e o somatória por uma série infinita.

$D^{\alpha }f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{\alpha }}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {\alpha }{k}}f(t_{0}-kh)$

em que ${\binom {\alpha }{k}}\;=\ {\dfrac {\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (\alpha -k+1)}}.$

Exemplo

Cálculo da derivada de ordem ${\dfrac {1}{2}}$ de $f(t)$, em $t_{0}$:

$D^{\frac {1}{2}}f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {\frac {1}{2}}{k}}f(t_{0}-kh)$

$D^{\frac {1}{2}}f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{\frac {1}{2}}}}\left[f(t_{0})-{\dfrac {1}{2}}f(t_{0}-h)-{\dfrac {1}{2^{3}}}f(t_{0}-2h)-{\dfrac {1}{2^{4}}}f(t_{0}-3h)-...\right].$

Facilmente pode ser verificado que aparece o termo ${\dfrac {1}{2^{n}}}$ e quando $n\rightarrow \infty$ , ${\dfrac {1}{2^{n}}}\rightarrow 0$. Para problemas numéricos o truncamento pode ser feito rapidamente.