Discussão:Passeio aleatório

O random walk é uma formulação matemática para uma trajetória constituída por sucessivos passos aleatórios. Essa formulação encontra inúmeras aplicações, como na modelagem da trajetória de uma molécula que viaja em um líquido. Em um modelo simples de random walk, os passos da trajetória podem ser definidos como Xi, posição após i deslocamentos, de modo que para um i inicial igual a zero, Xi sucede Xi-1, para todo i maior que zero. Para uma única dimensão, o deslocamento pode ocorrer em apenas dois sentidos, de modo que para cada um se define uma probabilidade, tal que a soma das probabilidades seja igual a 1.

Dada uma posição inicial igual a zero, com probabilidades de movimento iguais para ambos os sentidos e deslocamentos constantes e iguais a um. Tomando-se uma seqüência de números aleatórios Xi que podem assumir os valores 1 e -1, com igual probabilidade, representando os deslocamentos para cada um dos sentidos, Si a posição na trajetória e n o limite no número de deslocamentos:

  n

Si=∑ Xi

 (i=0)

Se N é o número total de passos, n1 o número de passos para a esquerda e n2 o número de passos para a direita:

 P(n1)=( N  ) (1/2)^(n1)(1/2)^(N-n1 ) = ( N ) (1/2)^N
         n1                               n

 P(n2 )=( N  ) (1/2)^N
          n2

O deslocamento é dado por:

d(N)= n1-n2=2n1-N

A probabilidade do corpo esta a uma distância d da origem:

 Pn(d)=1/2^n  (   N     )
                (d-N)/2