Equação de Huber

A equação de Huber, obtida a primeira vez pelo engenheiro polonês Tito Maximilian Huber, é uma fórmula básica em cálculo de tensões de materiais elásticos, um equivalente da equação de estado, mas aplicada a sólidos.

Para o estado de tensões bidimensionais em um ponto,

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma &\tau \\\tau &0\\\end{matrix}}\right]\,\!,$

a expressão mais simples e comum de uso apresenta-se na forma

$\sigma _{eq}={\sqrt {{\sigma }^{2}+3\,{\tau }^{2}}},$

sendo $\sigma$ a tensão normal e $\tau$ a tensão de cisalhamento, com $\sigma _{eq}$ a tensão equivalente do material.

Demonstração

Para o tensor

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma &\tau \\\tau &0\\\end{matrix}}\right]\,\!,$

o polinômio característico é

$\lambda ^{2}-\lambda \sigma -\tau ^{2}=0\,\!,$

sendo suas raízes os autovalores

$\sigma _{1,2}={\frac {1}{2}}\sigma \pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\sigma ^{2}+4\tau ^{2}}}\,\!.$

De acordo com o critério de falha de von Mises

${\sqrt {\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}}}=\sigma _{y}\,\!,$

sendo $\sigma _{y}$ a tensão de escoamento do material.

A tensão equivalente $\sigma _{eq}$ é neste caso definida pelo lado esquerdo da equação anterior,

$\sigma _{eq}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}}}\,\!.$

Com os autovalores $\sigma _{1}$ e $\sigma _{2}$ resulta

$\sigma _{eq}={\sqrt {{\sigma }^{2}+3\,{\tau }^{2}}}\,\!,$

o que completa a demostração.

De grande uso nos cálculos de estruturas tipo a Ponte Golden Gate ou a Ponte Verrazano-Narrows, por exemplo, as seções transversais de suas vigas, etc.

Ver também

• Critério de falha de von Mises