Composição de funções

Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de um vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.

Definição

Seja:

$f:X\rightarrow Y$

e

$g:Y\rightarrow Z$

duas funções, Se o domínio de g contiver o contradomínio de f, podemos definir a função composta:

$g\circ f:X\rightarrow Z$

como:

$g\circ f(x)=g(f(x))\quad \forall \ x\in X$

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Associatividade

Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

$f:A\rightarrow B{\mbox{, }}g:B\rightarrow C{\mbox{ e }}h:C\rightarrow D$.

É fácil mostrar que:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)\,$

Por transitividade e associatividade, define-se a função composta:

$h\circ g\circ f:A\rightarrow D$

como:

$(h\circ g\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))\quad \forall \ x\in A$

De uma forma geral, basta a imagem $f(A)$ estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta $g\circ f$ (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).

Potência de uma função

Seja $f:A\rightarrow A\,$. Neste caso, pode-se definir $f\circ f\,$, $f\circ f\circ f\,$, etc. Pode-se portanto definir $f^{n}\,$ (por indução: $f^{n}\circ f=f\circ f^{n}=f^{n+1}\,$) para $n\geq 2\,$. Definindo-se:

$f^{0}={\mbox{Id}}_{A}\,$

$f^{1}=f\,$

Chega-se facilmente a:

$f^{n}\circ f^{m}=f^{n+m}\,$

Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de $f^{n}\,$ para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).

Ver também

• Wikilivros